Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. 10. No. 77, TlIEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
77. Mais ce resultat ne vaut que pour un c fini, et quand a a et a t sont des nombres entiers.
Gardons cette derniere condition et passons an cas de c infini. Alors le passage de (201b) a (201c)
ii'est plus permis en general, quand r devient Piunite: car dans la premiere on distingue deux facteurs, dont le premier devient infini: done pour que l'integrale ne devienne pas infinie, il faut du
moins que Ie second facteur soit zero pour r l'unite, c'est-a-dire, que l'on ait:
2or
q (Sina.-, Cos.[ )+ cj(Sin 2c0,Cos 2j3)+...+,(Sin. 2aer,Cos.2anTd)=1 | (Sin.axCos.Cr)dx= 0. (2O2)
La difference du second facteur mentionne et lte cette serie donnera:
S o(Sin.a8, Cos.[-Cd)+r(Sin.2a8, Cos.2[)}-rr2 p(Sin.3ct, Cos.3[83-+...+r2ar-I p(Sin.2a7aS, Cos.2awn[). (r. 1-a-r
=-( 1-r) [ (Shi1X.26, Cos,2C)-t -- (Sin.3a6,Cos..3 S) + + -='1 — 'I (Shi..2a n77 aCos.2 a -C)
ou, en ajoutant sols les crochets la serie (202), zero par.hypothese:
I -- -(1t r) [ cf (Sin.a, Cos.[)+-21(Sin,2a5, Cos.2[S)-+(1+ 1<) (Sin. 3 ac, CoS. 3 j')+ a
(+ + rar- ) g, (Sin. 2 aa 8, Cos.2a r 3 )].
VoilR done la valeur de la seconde serie de la formule (201ib); et son facteur 1-r rend la premiere
serie convergente, car (1 - r) (1 - r2ar - r4a +... r(c-1)2a5r) 1= (1 — r2cav) a une
1- r2aT
valeur determinee, encore pour c infini. Done la formule (201b) devient sous la condition (202):
-+ 1 + - i (Sin.3 a c, Co.3 )+...+ -- (),- ) (Sin. 2a1 c a Cos. 2 a n 3,.(203)
equation, qui vaut encore pour un c infni. '
1-r
Lorsqu'on a r = 1, il vient en premier lieu pour c fini, puisque l r(l-2ca*) -(l-1 2ca7)= 0
J27rac
j c(Sin. cx,, Cos. 3 $)............... (0)
qui coincide avec l'application de la formule (201).
Maintenant supposons:
x c x
8)a x/ l\\7RCge x x.
r = 1-, alors Lim. rS = Lim, (1 -- = Lim. - = (e-1)C = e c
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