Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MEITHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIN1ES.

I. 10. N. 76.

Faisons n =2 2 ab n + 1, et donc 2 ab,7 — +: mettons-y b = c, de sorte que b devient
infini, alors q =-2 rac + -, et notre integrale devient:
2r7ac+o- x
] r^J (Sin. a x, Cos x) dx = Lim. 8 r [qp (Sin. a 8, Cos. { 8) +- (Sin. 92 a, Cos. 2 ({ 8) +..
+ r2abr -1 (Sin. 2 a b n a 8, Cos. 2 a b rn 1' )].
AMaintenant prenons a, qui est encore une quantite tout-a-fait arbitraire, tel que a a aet a C devienoent des nombres entiers; ce qui est toujours possible, pourvu que a et 3l ne soient pas des
nombres irrationnels: alors la periodicite des fonctions Sin. x et Cos. x donnera:
Sin. (2a e a +f) c -in.af)a Cos. {(2m ea +f) 8} =0Cos.f;j38
et par consequent:
p (Sin. (2 e a +/) a }, Cos. {(2 e a +f) 3}) = p (Si.fca, Cos.f S 8).
On pourra ainsi diviser la serie de ' lequation precedente en plusieurs periodes:
2r7 ac — x
r cp (Sin. a x, Cos. { x) dx Lim. S r [p (Sin. a 6, Cos. j3 ) + rcp (Sin. 2 a b, Cos. 2 #3 ) -...
+ r2ar-1 cp (Sin. 2 a T a, Cos. 2 a;T ri 6)
+ r2ar cp(Sin. a 8, Cos. ) S)+r 2a +l cp (Sin. 2 a 8, Cos. 2 ) +... +r4-1 cp (Sin. 2a 7T a c, Cos. 2 a7r 3) 8)
+ r(c-1)2aT p (Sin. <a, Cos. 3 6) + (c-1)2a>;r+1 s (Sin. 2 a 6, Cos. 2 3 6) +...
-+ r2ca7- (8in. 2 a a, Cos.2 a S)].... (201 a)
_ Lim. 8r (I + +.. r( ) [p (in. a, Co. r c) (Sin. 2 a, Cos. 2 3) +..
+ r2a7-1 cp (Sin.2a aR, Cos. 2a n 8 )].... (201b)
1 r2caCr
= Lim. ' T 1- 2 [q (Sin, a 8, Cos. 3S ) + r p (Sin. 2 cc, Cos. 2 (3 8) +..
+ r2a7r-1 c (Sin. ar, Co. 2 a rr )]... (2 01
Pour pouvoir employer la derniere equation sans crainte, il faut que c soit fini. Dans ce cas suppoS~ 1 -y1r2acT 0 2ac rr2act-l
sons r = 1, alors rx = 1 et la fonction 1 = c, d aprePs la
regle usuelle pour les fonctions indeterminees; done nous aurons:
27rac
j cp ({Sin. c x, Cos. Co x) dx = c Limr. 8 [cp (Sin. a 4, Cos. S+) - (p (9Sin. 2 a 5, COS. 2 3 j) + e.,
+- p(Sin. 2 an a, Cos. 2 a n ^) = c p (Sin, a x Cos, L a,) 1. (2201
oI l'on a transforme la serie en integrale definie, d'apres la formule (3). Ce resultat est entietre
ment conforme a la supposition de p6riodicite, servant de base a la discussion precedente.
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