Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

a 9, 10.N. 75, 76. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

af d I
^i~im, OSin. x 2
Limof e-+kz;if(m) -$iein. (o)2o < <.... * *., (l9s
0
=:~-,if(O) ~. (197), on =; <, < <.,. (198)
saivant que f(c 7) est toujours nulle on non (c < a). Lim. k = oc
Enfin les formules (183) a (191) et (174) a (182) donnent lieu a la suivante:
Ca rmd
LiTm. e+kxif(x) = 0.. (199) on oo,0<a< < o. (200
fi Cos. xD
0
suivant que f (2 7) s'evanouit toujours ou non pour un c <. Lim. k oo
11 est remarquable que les gas differents, qu'introduiraient les integrales au facteur Sin. k x et
Cos. k x, se trouvent tous reduits ' zero a cause de la condition sous laquelle existe la formule correspoonlante aux facteurs Cos. k x et Sin. kcx respectivement. Et voila pourquoi ici le resultat est tououlrs si simple et n'exige anuune des distinctions par rapport a k ou i a, necessaires auparavant.
~ 10. INT'GEIALES A FONCTIONS PERIODIQUES ET' AUX LIMIITES 0 ET C,
76. A l'egard de ces integrales on a enonce des opinions tres-diverses, et par suite on est
arrive a des resultats tres-differents, reposant en general sur des notions erronees des integrales
definies et sur l'emploi illegitime de series divergentes [48]. De la nmaniere suivante on evite
des series divergentes et par consequent la faussete, du moins l'incertitude des resultats [49].
I)aprl s la definition de l'integrale definie, formule (3), on a, en prenant 8 pour la limite inferieura
de l'integration
(x) d Lim. [/(5) + (2 ) +f (3 ),.- ([n l])], ou q - n,
psos qe () soit de la frme f () rcp
Supposons que / (x) soilt de la forme / (x) r= ( cp (Sin. a x, Cos. X x), alors il vielnt?
J rcp f(Sin a.r, Cos. ' C) dx Lim. ~ [Ir p (Sin. a S, Cos. 38) + r12 I (Sin. 2a S, Cos. 2 ( S) -t..
Io^~~ +(S ~~~~ — r'-I cp(Sin. {[C- 1] a c}, Cos. {[,n-1] ]i} )].
[48] Yoyez par exemple IAABE, qcui a traite de ces integrales en particulier dans le Journal von
(Ci1elle, Bd. 15, S. 355; Bd. 23, S. 105; Bd. 25, S. 160.
[49] Comme j'ai tacheli de demontrer dans la seconde partie de ma note inslree au Toyme 7 des Verhandelingoen der Koninkl. Akademie van Wetenschappen.
Paie 78.