Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IET1IODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

I. 9, N. 73, 74.

-=, pour -Tr< a <, si f — - T lie s'annule pas toujours.
Enlcore devons-nous discuter le cas, ouf (- -- s' evanouit toujours: alors employons encore
la formule (151), supposant f (x) = f / (x). Ici se presente le cas, oil la fonction devient dis2c+ 1
continue pour Ce P - -: done, pour avoir la valeur zero de cette formule, on doit satisfaire
a la condition ajoutee: elle devient ici:
21 1- 1 \,.O 2 -t~ 1 -y (2+1 ~ im, -- rLira. --- — f +r- 1 z- _
O(r on a: Lim.-n.- = 1,par suite il faut queLirm/n - 2 7r~) soit zero, c'est-a-dire/ 2- 7 0.
Sin. 8 2
Rassemblant ce que l'on a trouve, on aura:
a Cos.22 k
Lim. Co Ax (x)dx=-0,0<a<-,........... (180)
Cos. x '
=0,.. ( 181) ou = o, -r<a< c,. (182)
suivant que 2 T) — r est toujours zero ou non; 2c+ 1 <2 a. Lim. =k.
2 /
On voit ainsi que le premier et le troisieme cas, que l'on distinguait au commencement, ne
donnent lieu en derniere analyse a aucune difference dans le resultat.
Toujours faut-il que la fonction f (x) reste continue entre les limites de l'integration; sinon
les raisonnement precedents ne seraient plus valables.
0a Cos.kx
74. Les considerations precedentes nous ramenaient a Pintegrale Lim. f ]x) dx:
0
Sinf S
celle-ci et son analogue Lim. /t - f(x) dx nous occuperont ici.
Cos, x
o
Comme on a en premier lieu:
ai Sin. k$x a Sin. {(k-1)x} Cos. x+ Cos.{(k ( 1) x. Sin. x d
Lm. -— f d = Lim. f -- -- — =LimCf )dx =Cos. x ]Cos. x
[a i.(-1)}o.a Cos. {(k-1)} x}
- Lim. I Sin. (k - 1) x}. f(x) dx + Lim. C. ( - -- xSin.xf()dx,
Page 75O 1.0*