Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1.. N. 73. TIHEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
2b —l+c
f2 CoS.{(I k 1)a)} f =,+7T 3 7\
Lim C "-f (x) dx - ~- f j ~ll( +s( - + 2 f +...
Cos. x 22 2../2+1 t) +f~ +.+f 2}+1 )
fWi. -* Cos. X - /(f) dx =~ 2/( i)~ i 1 (1) + 2 K)+ (.2) +...]1
2r = /37T\+ 2|
= I f(.)... +. +..... (179)
ou partout Liln. k -= c.
Pour le premier et le troisieme cas, que nous avons distingues au commencement de cette discussion, on se trouverait reduit, en suivant la meme voie, ' l'integrale:
[a Cos. c x
iLim. k i.'f (x) dx
et celle-ci sera 1'objet de notre examen an Numero suivant: done ici il faut agir autrement. Or, d'apres
les formules de Goniometrie: Cos. 4 k x =- Cos. t( + 1) x}. Cos. x + Sin. {(4 k + 1) x}. Sin. x,
Cos.{(4kc+2))}=Cos.{(4/1c + 1)}. Cos. x-,Sin. t(4k +' l)x}.Sin.x, il s'ensuit en premier lieu:
Lim.C f (xdx - Lim. Cos. {(4c+ 1) x}. /(x) dx +Lim. Sin. x.f (x) dx,
f i^co~~~~~~~~'0Q8~~. OG Co8. X
~o0 0o
facos. (4k+2~)} 2) ISin. {(4fa+1).v
imn - (o —' - f(x)dx - Lim. Cos. ((4c+l) 1) x}J.f(dx-Lim. {(41c + Sin-)dx.
C /os(. j + Cos. x
o O0 o
Mais la premiere integrale au second membre de ces equations n'est autre chose que 1integrale (15.1)
et s'annule par consequent pour tout a positif, entre zero et l'infini. Pour trouver la seconde integrale,
Sin. x Sin.2 'lb
il faut s'adresser a l'integrale du Nr. 72 et y supposer f (x) = Sin. () = -S- f (2),
Oos. _c0 Cos. x,Sin.2 c
afin d'obtenir celle que l'on a ici. Or on a f(c rr) Cos. cw f(c7r) =- 0; mais pour une valeur
Sin.(2c+( 1)
2c -+- 1. 2 j 2 \ c 2c I l I
de a = a-3-, on a f(aw) -= K%+1 )- - 7) ( i (2j r co: o
Cos. 2 c +- 1 2 )
trouve done, puisque les cas de 4Ic en 2 Ic +- coincident ici, en general pour un k pair:
a Cos.2 k x 1
Lim.I - f(x)dx_ O= 0 pour a < -r,
Faos. x
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