Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET ME1THODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

I. 9. N\. 75.

observons en outre que par l'intermediaire du double signe i= on peut admettre ces deux cas
dans une meme formule:
Cos. (4 k 1) s Sin. (4kf 1)
TLim. J - Co —/-j(x1 ) dcx Lim. + x dx =
Cos6.. j x \2 Si-itI
o t Zj
on o
o Sin. {(4 k 4i 1)} a-Sin. {(41 } ~ f 1
- ~ Lirn.] l xf1 + x dx ~ Lim. + f dx.
2/0
Dans la premiere integrale an second membre faisons x- -- y, dx - dy, avec T et 0 pour
limites de y, alors elle rentre dans le cas de la formule (152); substituons done ce resultat, ct
nous aurons:
Cos. f(4 k x 1), x r 7r\ i- t S.f(4k =. )} /n \T
Lim. C --— ^^-'i-Zf(x)dx =- Lim. | S.. f x (+x)dx. (174a)
Lim.f{x } ir fa-AT% Siu {( 1
o0 0
Pour que la derniere integrale puisse se reduire a celle, que nous avons etudi6e au Nr. 72, il faut
que la limite superieure en soit positive; et encore faut-il supposer successivement -- < a < ---
a b= - 3 12 1-_r + -, a = c, afin d'obtenir des valeurs pour la limite
a- 7r- egales a celles que nous avons distinguees au Nr. cite. Encore pour le cas de -a -= -
la derniere integrale de 'equation (174a) est nulle et nous trouvons:
L i. f;.......... *. (174)
Cos x \
tandis que les cinq cas mentionnes nous donnent par l'introduction des resultats du Nr. precedent, qui valent pour des k impairs, c'est-a-dire des formules (152), (154), (158), (164), (170):
Lim C..{ -j(x)dx ' +f:-<a ( f 175)
Cos. x P.
3Sr
t 2 Cos.{- +4)} f /(4) '_ _ 71 X I 37rz (r (7T )37r\
LPae 73. 10
WCoIS- EN NATsIJK. EEEL VII
2b-k-1
Lim. f (x) dx = -4- 7f = + 2f + f +
Cos.x (7)2 I 2
+- '2 'I -,n b- I 2'b+
7r E 7,r (177)
f2 PI 2~ \
Page 73. I0
AVIS- EN NATUURK. VE:RH. DER KOTNTINKL, AKADEISTIE. ~DEEL VTII.