Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

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III

plas grande quo les autres. Dans l'application pour chaque cas special, lorsqu'on croit pouvoir
sen servir pour e'6valuation d'une inte'grale d6finie propos~e, il faudra n'cessairoement choisirpa i
ceux, qui serubleront eftre propres 'a do tols cas: mais presque jamais on ne sera assure' davanice quo
le cliemin me'nera r'cessairemnent au but que l'on desire atteindre. Toutefois co chemin est aplani
de beaucoup, depuis quo les Tables d'1nte'grales Deflinies peu-vent dispenser du calcul final, en
noral le plus diffcile et le plus incertain, aussitot quo l'on aura r6duit l'inte'grale proposee 'a unne
autre dej'a e'valu~eo dans ces Tables.
Maintenant tous les mate'riaux 6taient disponibles pour proce'der 'a l'6valuation des int6grales
d6finies proprement dite. lci le champ 6~tait bien 6tendu et so trouvait bien d~frich6' dans quelques
endroits, bien, inculte encore danls d'autres. Mais avant tout il fallait le divisor en Sections bien
clairernent limite~es: ot ici, commo Onl vient do le voir, c'6tait la nature do ces mn'thoclos qui devait
sviir do guide; ainsi on so voyait conduit -naturellement aux sept sections suivailtes, Ofi chaque
m6thode- occupe un paragrapho:
Section I, contenlant 5 paragraphes. Mfethodes directes.
Section II, contenant 12 paragraplhes. Mkthodes qui rame'nent "A dos inte'grales d~finies.
Section III, contenant.3 paragraphos. Me'thodes qni rame'nent 'a des integrales de'Rnies doubles.
Section IV, contenant 3 paragra phos. Me'thodes qui rane'nent, 'a des series.
Section Y, conteniant 3 paragraphes. Me'thodes qui ranienent 'a des equations diffe'rentielles.
Section YI, contenant 15 paragraphes. Me'thodes pour de'duire d'uno initegrale de'hnie con-nue d'autres inte'gralos d~flnies.
Section YII, contenant 4 paragraphes. Me'tbodes particulie'res (qui n'entraieut dlans aucuno des
sections pr'ce'dentes).
Observons en ge'ueral quo la Sixicine Section contient n~cessairement des me'thodos 6tablies
sur los me'mes priucipos quo quelques-unes des me'thodes dans los sections precedentes,-, mais qu'ici
ce sont pour ainsi dire los mngthodes inverses do celleslc:tu'ici on part d'une donn~e' connue
pour obtenir un re'sultat donit quelcluefoiis on no saurait pas ineimo pre'sager Ia formo: tandis quo
l'onl takche do ramener une inte'grale de'finie,'b 6valuer 'a une autre fonction, qui soit counno ou
dont Onl puisso determiner la valour, pour obtenir ainsi l'6'valuation do la promi'nire.
Pour l'application, los the'oremes, dgduits daus la Partie Deuximefy,, so trouvent distribue's dans
los Sections diverses, sauf dans la cinquiekne et la sop tieke, et font toujours le sujet do Ia Jernie're
TMilt~hode do chaque section. Us ont pa donner lieu 'a un assez grand nomubro d'inte'grales de'anies
nouvelles', gyrr"co 'a l'ernploi des Tables do ces fonctions. Mais aussi par les -autres Me'thodes on a
6valu6, diverses integralos d~flnies, taut do cellos qui so trouvaient de"jc' consignees dans los Tables,
quo do formules liouvellos. Parmi los nitgrales d~finies conlnues ii so trouve quelques-unes qui
pouvont Ctre de'duitos par diverses mrnethodes; c'est 00 qui a e'te fait quciquofois, et alors (10s notes
renvoieut tonjours aux autres liCLux do deduction: ainsi elles dounout parfois un exempie frappant, comment dans cette the~orio on pout atteindre un me'me, but par des voies tout-a-fait dilflroutes. Ces exemples moutrent en outro comment queiquefois los limites conditionnollos, resultant do
quelquo ine~thode, sont e'largies par une autre; quo telle, m6thode exigo, necess aireinont quo quelque
constante soit. entiere, on positive, on mnoindro qu'une certaine quantite6, on en cortaino relation
avecqnelue atre constante: tandis qni'unie autro mn'thodo n'a pas bosomt do ces conditions.