Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. 19 N~. 72, 73. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
l b?+C Sin. x
Lm 1 Sn. J si f (S) dx = ind6termiiie............ (169)
0
oi partout Lim. k - ac.
A isi l'integrale se trouve evaluee pour tons les cas, qui peuvent se prlesenter, et ii est
evident que la valeur n'en diff'ere pas seulement pour les valeurs de a <T, b=, b71, b -f c, mais
aussi selon qu'on peut supposer la quantite k, qui diverge vers l'infini, comme etant paire o01 impaire, ou en cas que l'on n'en connaisse pas l'origine.
Lorsque encore on voulait calculer notre integrale pour un a infini, on ne sait pas si a est
un multiple exact de or ou non, c'est-a-dire s'il a la forme b I ou b r -+ c: mais alors les formules (157) a\ (169) menent toutes aux memes resultats:
(Sin. k x{( k }) x Tr
Lim. Sf (i f () (1 -f +- f(T) +2f (2 ) +...]... (170)
0
Li Sin. 2 k x 7T
Lirm J -</2 k[f (a() o,-2(.) +.2f(2 )-........... (171)
~ Sin. x,
Lim. 7 () =2 f (0) +- 2f (2 n) - 2 f (4r) +..........(172)
0
on inde'terminee.............. (173)
suivant qu'on a toujours f {2 A + 1) r}. 0, 0 < h< oo ou non.
oh partout Lim. k ==.
Dans toutes les formules de ce numero on a suppose que f (x) reste continue entre les limites de
l'integration.
Cos. k x
73. Passons maintenant a l'iutegrale Lim. f os x) dx, analogue a celle, que nous
0
ATt
venous d'etudier, et tachons de la deduire de celle-ci. A eet effet faisons xz=, +y, d'oU
(x = dy, Cos. x - - Sin.y, Cos. k = Cos. -k-T + - avec les limites -et a- de yo
O(), l'expression de Cos. kx nous indique qu'il y aura a distinguer quatre valeurs de k suivant
qu'il a la forme 4 k', k' — 1, 4' '-+ 2, 4 k' —1: alors on aura respectivement Cos. k x
Cos. ( k'nt+4 'y} = Co. 4 'y, = Cos. {2k' + -r + (4 c' - l)y) = — -Sin. (k'+ l)y},
-- Cos. (2 k' - ) (4 k'+ 2) C} -. {(4 k'+ ) y}, = Cos. {2 k ' + (4 k- ) y
Sin2. (4 k' 1) l)}. Occupoiis-nons eIl premier lieu du deuxieine et du quatrirne de ces quatre cas,
1 1
et divisons-y la distance des limites dans deux parties, l'une de —2 w a 0, l'autre de 0 a a — 7T;
Paego 72.
Pao'e 72.