Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

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THEIORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Maintenant dans quelque integrale a limites c r et (c +- 1) r substituons x = c 7 +- y, alors dx d= 1y,
Sin. x = Cos. crr. Sin. y, Sin. k x = Cos. c k r. Sin. k y = Cos. {(k - 1) c r)}. Cos. CTV. Sin. ky, tandis que
les limites de y deviennent 0 et n; et il vient:
J ) Sin f () dx -Cos. {(k i)c }. T Si f(cr + x) da.
Sin. x Sin. x
C7 0
Substituons ce resultat dans les integrales de 1'equation precedente, observons que Cos. ((k-l 1)2 c 7
- 1, Cos. ((k - 1) (2c- - 1)r} Q Qos. {(k- l) 7n), et faisons usage des r6sultats de la formule
(153); nous obtiendrons:
b 7inkr 7in.kx _ T
im. f(v)dl = f(O )- Cos.({k-1 ) f()] + Cos.{(k-1)). [f(a) + Cos. (k-l1 )Tn f(2 z) ]+
0
4-[/ f(2rr) + Cos{t (k-1)7r} f(3rr)]...-F-Cos.{(b-I) k-fl)7r}. [f(b-l)7 + Cos. (k-1)u}(bur)],
ou puisque Cos. {b(k —1)rn). Cos. {(k-l) rr)} Cos. {(b —)(k —1)n}
bLir S. S xI f (x)dx =2[f (0)+2 Cos.{(k —l) 7}f(7r) + 2f (27T)-+ 'Cos.{(k-1) 7}.f (3 7))+...
+ 2 Cos. {(b —l)(k- l)nr}.f{b-1)f} ~ } Cos. {bk —1)m).jt6z)] = -[ {f(0)+2f(2t)~+2f(4T2r) +...) +
+2Cos. {(k-l)T}.(f()+f (3 7z)+...}+ Cos. {b(k-l) }.f (b )], Linm. k =. (157)
Or, pour k impair de la forme 2 k'- 1, on a Cos. ((k- 1)}) -= Cos. 2c'r =c 1. Mais pour k
pair de la forme 2 k'7, on a Cos. ((k —I) a} Cos. {((2 '-I) 7= - 1, et Cos. b (k-I) 7r)
(os. tb (2k'- l) } = Cos. b, done -- 1 ou - 1, selon que b est pair ou impair; de sorte
que dans ce cas-ci il faut distinguer ces deux formes de b. On trouve done en otant l'accent aux kI
-t-2Lim. — i ' (Si —1- }f(x)dx= — [fi( O )+ t/(f)+ s f('2 ) -.. + - } +f(br)],Lim.kc —.(158)
I 0^t71. X
3L ilm. x -f(')dx = [/()-2(2f ()) + 22/(2 ).t(f2b-1) r} -+2 2brr)], Lim.k c.(159)
i, (2b —l)As2- 2T..
im.. J M if()dx-2 [/f2(0)-2f(7r)+2f27r) —... + 2f(2b7T)-f{(2b6-+ 1)7r} j,Lim.k-=c cc. (160)
Sin. x 2
0
Lorsqu'on ne sait pas d'avance si k est pair on impair, alors Flintegrale est indeterminee a moins
que o'on n'ait toujours f{(h2 + 1)Tr} = 0 pour 2 - -1 > b. On trouve par consequent:
Lim. if)Si kf d j ( = [f(O) - (2r)+. 2. f {(2b —g2) -} f(2b 7)], Lim. k -- (6 1)
Sin. x 2Q
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