Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

9. 9. N. 7 1, 72. TIRiORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
71. Lorsque la fonction f(x) devielnt discontinue pour une valeur h de x, situee entre les
limites b et a, il faut considerer 'integrale singuliere;
= I]: im. Cosx. Zf() dx =Lim. - Cos. x f ) d
A-s h-s-/
o, l'on a substituel y k.:. quant aux limites, kc est o. 0, indetermine: si ce produit est nul,
l'integrale s'dvanouit, mais encore en cas qu'il ne soit pas nul, on a ici une integrale comme la
formuie (147), et elle s'annule aiusi, pourvu qu'on ait Lim. f( h ~. 8) =. lassemblant tout
ceci, nous trouvons que:
Lim. J Cos. kx.f () dx - 0,Lim.k i.
Si f(x) devient infinie pour b ou a, il faut que l'on ait Lim. Sf(b + - ) 0,= 0 * (
Lirm. f(a —) )=0 respectivement. Si f/(x) devient infinie pour une valeur h
entre a et b, il faut avoir Lim. 8f(lh i~ ) =. 0
Mais lorsqu'on reprend la discussion prceddeonte en y remplagant Cos. kx par Sin. ke, on voit
que ce changement n'a aucune influence sur le raisonnement, de sorte que l'on trouve sous les
mlemes conditions que ci-dessus:
Lim. Sin.kx. f() dx = 0, Lim. k=.-............. (149)
Quand b est nul, comme on se le proposait primitivement, on a le theoreme:
Lim. S-n.kx.f() dx - 0,........... (150)
0
Lim. ICos.kx.f (x) d = 0,............... ( 11)
ou partout 0 < a < o, Lim. k -=
Si f (X) devient infinie pour les valeurs 0, a ou c (0 < c <a) de x, il faut avoir respectivemelnt
Lim. f(s) -= 0, Lim. f(a-) -0, Linm. f(c ) = 0;
ce qui satisfait a ce que nous avions enonce au commencement du Nr. precedent.
72. A present dans la formule (127) faisons F (s) = Si-/(x). Comme F (x) y est supposee continue entre les limites 0 et a, il faut voir en premier lieu si cette supposition est permise.
Pour la limite zero de x on a Lim. -,Sin 1, donc il faut que f(x) soit continue pour cette
valeur zero de x: mais le facteur -- perd sa continuite pour la valeur r de x, et devient
infini alors. On a done pour a <:
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