Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET PIETIIODES D'EVALUXTION DES INTEGRALES DEFINIES.

I. 9. N~. 70.

Ainsi toutes les integrales obtiennent les limites 0 et Tr, et on peut les reunir sous un meme
signle d'int6gration; de plus on peut prendre pour facteurs generaux Cos. p7 et - Cos. x et l'on
trouvera:
I = Cos.pL..Lin. -,^Cosx.+ (qp) x (-p- P) l)-( +Q-)l.
Lorsque f (a) est une fonction decroissante entre les limites 0 et 7r, alors la serie sous le signe
d'integration est convergente, et sera contenue entre zero et le premier terme de la serie: c'est-adire, quand on remet pour p r sa valeur bk -t r:
Cos. p m. Lim. - Cos. xdx X 0. < Cosp.Li C. Cos. p. i. Cos. x dx f
k" j k k...
o o
r -— 7-r' -y j _ i
Mais la supposition Lim. f (b + ) 0- donne pour Lim. t/ b + =- 0
d'ou, puisqu'on a < < r < 7r et aussi O < r + x < 2 r: Lim. /f --- + --- - O. Doll
k \ ck
linequation precedente devient: 0 < I < 0, c'est-a-dire I = 0.............. (147d).
Quand au contraire f/() est une fonction croissante entre 0 et 7r, alors la serie est convergen1te, lorsqu'on 1'ecrit en ordre inverse: elle est comprise alors entre zero et le dernier terme; doilc,
quand on met pour q r sa valeur a k-s:
Cos. p r(. Lim. o.. Cos. d X < I < Cos. (q-p) a} Lim Cos. d f ---
-7r+ S-X 8-,% f+ -2
Or, d'apres la supposition Lim. 8f(a- ) == 0 on a pour 8 --- -xLim. a1. ak- -s + \
donc, puisque O < x < s < r, et aussi 0< 7r - s- x<27r: Lim. -j - -ak- 0: par
consequent l'inequation precedente devient: 0<I<O, d'o I - 0.................. (17e).
Lorsque enfin f (.) est une fonction a divers maxima et minima entre b et a, par exemple
pour G,C.. Cn, alors on n'a qu'a diviser la distance des limites en n + 1 parties, de b a c,,
de c a c2,.. de cd ' a, et t considerer chaque integrale separeoment: d'apres les remarques precedentes elles deviendront toutes nulles; done I s"evanouira de meme.
Quand f (x) devenait negative, il faudrait supposer x — y, et la conclusion precedente ne
cesserait de subsister. Par suite on a toujours:
Li. Cos.kx f()dx = 0, si Lim. 8f(b +8).= 0,,im.8fV(a-8) O0, pour Limt. G - c; (147)
oui pourtant f(x) est toujours supposee. continue entre les limites b et a.
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