Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET' METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I. 8. N 68t
68. La menthode dedecluction suivie au Nr. 63 s'accorde en partie avec celle, dont un autre
savant s'est servi pour une troisieme demonstration du theoreme de FOURIER, par l'intermediaire
des formules de LAGRANGE, quoique le point de depart y differe beaucoup: je parle de la demoostration de LEJEUNE-D1RICHLET [44], dont voici une legere esquisse.
Dans lexpression de la serie
co [b & co
1J f (x) Cos n x d f ( 1) dx 7 Cos.n x
O O0
effectuons la sommation pour 2n termles, et ensuite passons `a la limite cc de it: alors cette expression se trouvera transformee ainsi:
_ 1 bt(2ic/ S-L i n. t(n + l)- ).4v
t A
- ff. L. +f2 fQ^ ) d.
' 2 Sin. 1x
0
Cette limite peut etre determinee par une methode analogue ' celle de Nr. 63, comme nous verrons
au paragraphe suivant. Ecrivant alternativement Cos. {n (x -p)} et Cos. {n( (x - p)} au lieu de
Cos. n x, et combinant les resultats par voie d'addition et de soustraction, on obtient:
Cos. np f(x) Cos. nxdx= () - () dir, 1 Sin. 2p f(x)Sil. nxd = f (P),. ( 44)
0 '0 '0
les formules de LiLAGRNGE. Substituoins enfin p =- x co;, ce qui donne 0 et b comme linites
de y' et passons ensuite t ia laimite c de b, les signes de sommnation doivent etre changes en
des signes d'integration par rapport a x' et avec les imnites 0 et o, et l'on retrouve les formules (.130) [44].
[J44] LEJEUNE-DIRICHLET, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 157. - Id., Repertoriumn der Physik von
DOVE u. AMosER, Bd. 1. S. 152. -- Id., Journal von Crelle, EBd. 17. S. 35: Addition p. 54-56. - Id.,
Journal von Crelle, Bd. 17, S. 57. - Id., Abhandlungen der Berliner Akademie 1835. - SCIHLOILCH
Grunert's Archiv, Th. 1, S. 417. - Id., Beitrage zur Theorie bestimmter Integrale, Jena. FPOMMANN, 1843.
VIII et 103, S. 4~. - Id., Analytische Studien, zweite Abtheilung; die FouRTER'schen Reihen nnd Integrale, nebst deren wichtigste Anwendungen. Leipzig, ENGELMANN, 1848. 197, S. 8". - MEIJER, Journal
von Crelle, Bd. 43, S. 60.
[45] S. D. PoIssoN, Theorie mathematique de la chaleur, Paris Bachelier 1835. 532 Pag. et I Pi. 4C
(ou il a ajoute en 1837 un Supplement de 72 Pages 4~) p. 205.

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