Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II ~~~~~~P R E FP ACE.
ID'apre's ce qui vient d'd~tre observe' ce travail est divise en trois parties:
Parti I. riucpes dc la ~7i 'orie des iu'lig'rales clJfzies, - qui en comprend la th'orie et les
proprie'tes;
Partie II. Porviules de Irausformialion yenerales, dont on trouve 1Papplication dans la
iPartie III..Evalbtalion dles Wel'grale8 dlefnies,?- qui traite des diverses mg'thodes, imagine'es et,
employees dans, ce but.
Eni premier lieu j'ai voulu re'unir ine'thodiquenient toutes les discussions sur des points spe'ciaux
de cette theorie, lesquelles se trouvaient 6'parpille'es dans divers 6crits,- et surtout je voulais
ta'cher de les de'duire des me'mes principes, qui devaient former la base de cette the'orie: c'est en
quoi je re'ussis au-dela' de nies espe'rances. De la notion et des proprie'tes fondamentales des int6-_
grales d~finies d6coulait naturellement tout ce qui se rapportait au changement taut des limnites
que de la variable inde'endante. De pius -on en d~duisait la differentiation de -nos fonctions, par
rapport 'a uine constante: et de ces formules, par un retour facile, on en venait 'a leur integration;
ayant 6oard toujours aux equations de condition, lorsqu'il y avait des cas d'exception on de discontinuit6'. Les derniers th'orernes donnaient lieu le trois discussions difle'rentes: d'abord sur l'invertissement de l'ordre des inte'grations dans les int'grates doubles; ensuite sur la th6orie des
inte'grales d6finies 'a limnites imagrinaires; enfin sur le tbeore'ie de FOURIEn. Ce the'ore~me exigeait
par contre une 6tude de la limite des inte'grales, quil contiennenlt Unne constante infnieo et par la,
on se trouvait conduit naturellement aux int' grales qui contiennent des fonctions p6riodiques e'ntre
les lirnites 0 et oc. Ces deruiers paragraphes donnaient des the'ore'mes, dont il fallait, faire usage
dans les autres parties de cc travail. Quant aux inte'grailes doubles, ii n'entrait nullement dans le
cadre actuel dWen donner unle the'orie comple~te: seulernent on a traits' de cc qui 6tait n6cessaire
af notre but.
Maintenant il fallait en venlir aux applications des principes solideamnent 6tablis et des propriuts Udadites daus la Premniere, Partie. - applications, taut g'n'rales, autaut qu'il en resultait
des the'ore'mes go'neraux, que spo'ciales, lorsqu'on obtenait Pevaluation d'une int6grale de'finie
speciale. Or, dans le dernier cas il imnportait principalement do distribuer les diverses me~tbodes
suivant un certain syste'me quant 'a leur nature ou quant au principe qu'eiles repre'senltaient:i
nie S'agisio on el om, sou s laquelle le re'sultat se pr'senterait. Dans le, premier cas an
coutraire, la deductiou do the'oro~ffes generaux., c'6tait pluto't la nature du re'sultat qui devait eftrc
I'argument do distribution: ici la chose importanlte 6tait le re'sultat, le the'ore'ine acquis lui6-1m61n;
la nmanie're, dont on s'y 6tait pris pour le de'duire, avait momns d'imnportance.
Par consequent la Deuxie'me Partie devait &fre divis~ee en quatre Chapitres, selon que le
resultat se trouvait C'tre nne evaluation directe, la Tr'duction a uine autre inte'grale d~finie, onl Ia
r'duction 'a une -sorie; on qu'il s'agissait d'une rednction d'int6grales doubles. Pans le Troisi"m
Chapitre on distingue les cas dans lesquels les series se composeut do quantite's tinios ou di'inegrales
d6fiuies, en. reservant pour le. troisie'ine et. dernier paragraphe quelques th'orernes, go'neraux d'une
graude importance. Mles recherches me conduisirent 'a une nouvelle source dle quelques the'ore'mes
bien int'ressants, quand 1impression do ce Meinoire fut de'j'a trop avanc~eo pour qu'ils fussent 'ins'r'
'a lenr place propro, et i'on devra los chercher par suite, dans los deux Additions 'a la fin do l'ouvrage.
Par des voies diverses on ost coniduit 'a 316 the'ore'mes ge'neraux dout quelques-uns ont uine port~e'