Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1, 8. No. 66, 67, THEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,
Jdy J (x) Cos. t(p-x)y} dx= 2cp (p),p2 < b....... (137)
- ao -b
Mais de la mrnme maniere, dont ces dernieres formules sont deduites des equations (129), les formules (130) donneront encore
J os.pdy dYJx)Cos.xydx= {.(p) + cp (( p)}, Sin.pydy cp(x)$in.xydx - {cp(p)-(-p) }, (138)
- 3 o 0 — c
[-w~ f09 ~oo 0oo
jCos pdy j f(v)Gos xydx r C {^(p) + q(-p)} 1fSinpYdyfcj(x)Sif ydx = w{cp(p)-cp (-)},(139)
dy jcP()Cos. {((p — )}d -= (p (), [43]....... (14o0)
0 -oo
dy CP (x) Cos. {(p-)} d 2 rp(p);.......... (1)
-CO- CO
et dans ces forinules p est tout-a-fait arbitraire, vu qu'il y est compris entre - et -o+.
67. Comme il est:
co rb r o fb rb fb
fdy J () Sin. {(p - x)y} dx =J dy fjP (x) Sin. Q(p - x) y} dcx + f dy (j.) Sin. {(p - x) y} dx,. —.. crJ-o — b O — b
et que la substitution de y =-z dans la premiere integrale au second membre la rend egate;
hintegrale suivante, sauf le signe qui devient negatif; il s'ensuit que 1'on a:
CO b
dy j (x) Sin. {(p- x) y} dx = 0.
-oo -b
Miultiplions-la par i et ajoutons ce produit a l'integrale (137) ou soustrayons-l'en; alors puisque
Cos. {(p -- )y} ~ iSin. {(p - )y} =-) e~(p-x)y, il vient:
JdyJ (x) e~(P-x)yi dx. 2 cp(p),p2 <b2......... (142)
-oo -b
Et la formule (141) donnera de meme:
dy p (x) e~=(P-x)yi dx = 2 TC (p (p)............... (143)
-00 — 00
[43] Cette forme se trouve chez FOURIER, Theorie de la chaleur, p. 449.
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