Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MErTHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DFINIES. I. 8. 8 N. 65, 66.
dy f(fx)Cos. (p -x)y} dx rf(p), dy f(x) Cos. {(p +x)y} dx = O,O<p<b. (182)
0 0 o
fdy () Cos {(p -x) yI}dx = wf(p), dyf () Cos. (p+x-) y} dx = 0,0 <p< c [42].(133)
o 0 0 0
66. D)ans ces deux derniers systemes on pent encore doubler la distance des limites de la maniere
suivante. Dans les equations'(129) substituons {() ( )} et - {(x) cp (-x)} respecti2 2
C'os.pdif { (x~) ~ q (- x)} Cos.olydx JCoopPdIlfcIp (x) Cos sa d+? cp(- x)Cos.xyd] =3 {P(p) + ip(-P), (
Sin.pydy J {p(x) -c(- )) Sin.zd '.Si npdyJ )(x)Sinxydsx- jcp(- ).y j 1)Si.C P()-(P(-P)};
o0 0 0 0
ou la forme de la substitution demontre que ces formules permettent, que p recoive des valeurs
negatives. Dans les integrales ' facteur qc ( ---) supposons x = - ', d'ou dx = - dz avec les
limites 0 et - b de z: ainsi dans les deux equations les fonctions a integrer deviendront egales,
tandis que les limites deviennent 0 et b, - b et 0, et que les deux integrales se trouvent etre
liees par le signe -+. Des-lors on trouve:
fCos.pydy cp (x)Cos.xydx=z.rp(p)+cp —p)},f Sin.pydYy j(p'p)in.ydx=- ((p(; —q(-p)},p2 <b.2 (1 34,
o0 -b 0 -
Maintenant faisons y = -, dy - dz, d'oil 0 et - o pour limites de z, et nous aurons:
ro rb [Q [b7
JCos.pydy cp(x)Cos.xydx=- {(p)+cp(-p)}, Sin.pydy jfc(x)Sin.$xydx-. {(p)-c(-p)},p <62"
-o -b -o -
Ajoutons ces integrales aux precedentes analogues et il vient:
J Cos.pYdy] p(xp)Cos.xyd=n{f(p)+(-p)-) Si.pydy j(x)in.x ydx=-r( (p)- (-p)},p 2<b2.(135)
-b - -b
La somme des deux integrales dans chaque systeme (134) et (135) donne encore:
Jdy p(x) Cos. {(-p-x)y} dx = nrp(p),p2 <b.......... (136).C$B]~~~: — _
[42] C'est sous cette forme que FOURIER a le premier deduit les integrales, qui a juste titre ont
garde son nom, savoir dans son ouvrage deja rare: Theorie analytique de la chaleur. Paris, Firmin Didot.
1822. XXII. et 640 p. 12. P1. 4~., p. 431 et 445.
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