Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

o 8. N'. 65,

TIJEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

tant dans leur point de depart que dans le cours de la discussion: si l'une se rattache au chandx
gement de lordre des integrales et a l'integrale Sin. px-, la derniere est la source de quel0
ques discussions analogues l'eYgard des integrates definies, qui contiennent un facteur infini: nous
en traiterons au paragraphe suivant. Auparavant il nous faut donner encore'quelques autres formules, qui so rattachent aux integrales deduites. Dans ces formules (3.29) il est permis deprendre
b infini, puisque le resultat l'en depend d'aucune maniere, et que la deduction, qui se fonde sur la
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division de la distance des limites en des parties, dont chacune embrasse une amplitude de - 7 I ne
change pas pour un b infini. Alors les formules (123) deviennent:
" f00 1 (Sin.kz 1 f Si. _kz
j Cos. py dy /(x) Cos. xy dxc - Lim. f(z+p) dz+- Lim. f(p - ) dz +
o o o0 o
1-,~ih Sin.1kz 1 1 Lf
+ LI. -- (z-f p) dz= - 2f(p) + -f (p) 0 =- (p);
0o 0 0
py d Sin.p) dkz T
- Lim. z - p) dz = —1 1 f (- p ) 0 = -f(p).
p
Lorsque p devient infini, les dernieres integrales s'evanouissent a cause des limites oo et c: dans
les deux premieres on a f(p + z) -f(Xo ) =f(p - z): done, la valeur des deux integrales doubles
devient ici:
1 Lim.f(Sin.kz
-Lim. (() 2 * — ( — dz Lim./(o )
Jo
0
(d'apres la valeur de l'int6egrale h au Nr. 61), et les formules precedentes valent encore pour un
p infini, c'est-a' dire:
00 00 GO 0 0
jCos.pydy jf(x)Cos.xyd = =-f(p)jO<p<oo,Sin.j &.dy j(x)Sin.xydx =-f A(p),~0 <7<o.( 30)
Lorsque dans les systemes (122), (129) et (130) on combine les deux formules chaquefois par
voie d'addition et de soustraction, on obtient:
rX b
fdy f(x)Cos. (p-xc)j} dx=O, pour p > b > a ou b > a > p, = rf (p), pourb >p > a;
o a
(w (b. (131)
Idy f () Cos. {(p + )} d = o........ * *
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