Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 8. N~. 63, 64. TIHORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,
I, -- iF (0) q-t Lim, I'0_. -— m r X r
II = (0) + Timn. j|+ - F ( + dx.
/.Mimr++ x) (I-m+X qMais dans la derniere integrale F -- ) -- + = F a devient pour
la limite o de k 6gale a F (a), continue par hypothese; Sin. ( m in + x est toujours compris
2
entre -1 et + 1: et le de'nominateur -mrr -+ r devient infini avec m ou k; done l'integrale
sevanouit pour k == ic; et l'ol a:
rF( o i. a Sin. kx 1
1 T.L(x) dx 1F(0), ou Lim= (0) <<, Lim.k oo (125)
2 x I 9
0
Enfin soit 2 Tr < a < c; alors on a encore:
aSin.kz a k x
12 -= Lim. F (z) dz Lim. J| F- dx;
x x k
0 0
1 1
et lorsqu'on suppose que m.-Tr soit le plus grand multiple de - r contenu dans ak, le raisonne2 2
ment precedent.ne change nullement, sauf quoe m devient ici plus grand que k, ce qui n'a aucune
influence: done aussi:
a Sin.t kx r 1
Lim. FF ",(x) dx = -F(0), Li... (126
x
0
De ces trois dernieres formules il s'ensuit enfin:
Lim. F() -dx -- F(O), O<a<co, Lim k ==........ (127)
J x 2
0
et encore lorsqu'on remplace a par b et qu'on prend la difference des resultats, dont les valeurs
sont les memes:
J Sin. kx
Lim. F (x) dx =, Lim.k -= cc.......... (18)
a
Dans toutes ces formules a et b sont cense's tre positifs.
64. On se trouve a meme maintenant de determiner les trois integrales dans le second
membre des equations (123), chacune pour soi, pourvu que les limites y soient positives: pour les
deux dernuires cela revient a dire que p et b doivent etre positifs: mais la premiere exige encore
que b - p soit positif, par consequent b plus grand que p. Donc, en supposant 0 <p < b on trouve:
Page 58.