Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

sous un meme signe d'integration. De plus, on passant a la limite cm de k, on obtient
F( —k y = ( -- Y) = IF (0); de sorte que les integrales out encore en commun les facteurs
\ k ] \ oo
Sin. y et F (0), dont le dernier, etant constant, peut se mettre hors du signe d'integration, tandis que
le premier peut etre considere comme facteur general sous ce mnme signe. A laide de ces remarques on trouvera:
I == (0) [ Sin.dx + — + ---- 1
rIIV
==F I0) ISin. x dx + j- + - 7+.. (0) Sin.xdx Cosec.x [41]
S a( — X 7L2 — 2 22
o o
f2 'Tr 7T 0.Sin. kx n
= (0) dx= -F(0), c'est- adire Lim. --- (x)d - - F(O), Lim. k =,. (124)
2 ^ f x 2
o 0
Soit en second lieu 0 < a <- Tr, alors on a par la meme substitution de kx -=
a in Si. n. (xa
I T =- Limr. F — (z) dz = Lim. i --- F dx.
z X
Q. 0
1 1
Supposons que le plus grand multiple de - 7, contenu dans ak, soit m. - r, et que le reste, na1
turellement moindre que - r, soit f (observons toutefois que m, lorsque k diverge vers l'infini, a
egalement l'infini pour limite); en ce cas nous aurons:
[L. fSinx I,G\ fm m 7rSfin.x In f [^XSin. x
I, =- Lim. F dx Lim. F -)dx -= im. -- + F dxi
o 0 {n m,
A present passons a la limite oo de ni; alors la premiere integrale du second membre coincide
avec l'integrale I et d'apres (124) la valeur en est done F(O0). Quant a la seconde integrale, faiy, d, t et pour limites de do nous aurons:
sons x 2 m w + Z/, d'oit dx = dy, et 0 et f pour limites de y; donc nous aurons:
[41] Ce qui est la somme de la serie precedente pour un x plus petit que r; voyez ScHL6MILCH, Hand.
buch der algebraischen Analysis. 2te Auflage. Jena. FROMMANN, 1851. (VIII et 344 S. 8~. und 1 Taf.)
~ 73. S. 282.
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WIS- EN NATUURK. VJORH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.