Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 8. N 635.

THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

63. Examinant t 'integrale a etudier, nous sommes conduits par la nature du facteur SSin. ' concid6 -rer la limnite encore indeterminee a en rapport avec -'r: et en effet le raisonnement suivant montrera
1 1
que la distinction prealable entre un a - T, et plus petit ou plus grand que - 7 est tout- afait
2
conforme aux exigences de la discussion. Done, soit en premier lieu:
IT1 Sin. kz
I Lim. j F (z) dz,
0
1
et faisons-y kz x, d'ou k dz dx, avec les limites 0 et -kIc pour x; par suite:
k ESin. f /z\
I =Lim. J F i r dx.
o
Lorsque maintenant nous regardons k comme un nombre entier, nous pourrons diviser la distance
O a -ka des limites en k parties, dont chacune contient justement - T, et nous aurons aisi:
~i7 Sin.x =x Sin. x cr Sin. x
o ' (c-2)'
- (cI- -- 1 i+. dx -... — d|
'IV k x k x k
] x ] _ x \k/
C5 ' (1c-1)Ramenons toutes ces integrales aux memores limites 0 et - r; a cet effet dans les integrales aux
I' 1
limites c -- 7r et C7r, prenons C = 7 c — y, d'oiI dx dy avec les limites - 7 et 0 de y:
dans celles au contraire qui ont les limites c0r et c -- 27r, faisons x. c +y, d'ou dx =dy
avec les limites 0 et -- de y. Alors nous trouvons:
cr Sinx / A n. (c - - y) c -y - ASin. y - y
f ------ F i t dyx -Cos.cr I F dy,
(c —) - ' i~ o
j(. _Sin f_ Sin( -y) (i Idy+_ Cos.cr - (C + F )
i x~ \k]~ f c-'y \ k /c - y r+ \ k I
C' O0 0
Lorsque maintenant on applique ces formules generales a la transformation de toutes les integrales
de l'equation precedente, elles obtiennent toutes les limites 0 et - n: des-lors on peut les reunir
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