Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES,

I 8. N8. -i. 2.

Or, comme nous avons generalement:
Cos. ay dy -= - dx. Sin. ay- - Sin. a k,
0 0
la substitution de ce resultat les change respectivenmet dans les suivantes:
1 fb )dSin. {(p-_ )} + Sin(p 1 f()d t )(
0 0 0
I fb [Sin. {(p-x)kJ Sin.{(p +)c f n.t(p- )}k 1 fbSin.{(p+v)ki )
p- - I ^_^ p+ 21 p- d 2J P+. f*
0 0
oi5 les seconds membres contiennent deux memems integrales definies: dans la derniere supposons
+ p -=, d'ou dx = dz, avec les limites + p et b -+ p pour z; dans la premiere au contraire
substituons -p = z, d'ou d =- dz avec - p et b - p pour limites de z: ainsi nous obtenonls
-i{( p-I- ) k} __ __z __in. k: _ _ _ _ _ _ _ _ ___k___
fb I 'f f(z)d=j (p-p)dz t J Ind {(p- xk}1 ) fzkzP
p+- x P — x ' z
0 P 0 -p
Mais divisons dans la derniere integrale la distance des limites — p a b — p en deux parties,
l'une de — p a 0, l'autre de 0 a b -p: et substituons encore dans la premiere integrale partielie
z = — V, nous aurons:
^-mPin. kz (PSin. k v b tn. kz
j z (j + p) dzz.-.p o...................0 0
Par la substitution de tout ceei nous trouvons enfin
f[o1 Sd2 1 b-PSin.kz 1 PSin.km, 1I b+PSin.kz, \
Cos pydy f)Cos.yd.y=- -T-+)dz+- fp-z)dz+ - - dz,
0 0 0 p
Les integrates doubles au premier meonbre de ces equations, que lron a reduites ainsi a trois integrales definies ordinaires, deviennent les integrales doubles doe FouRIER dans la formule (1.22),
lorsqu'on passe a. la limite co de k: mais pour cette linite les integrabes au second mnembre
'~Si. kz "
deviennent de la forme Lim. J - F (z) dz (ou Lim. k oo), de sorte qu'ici on se trouve ia0 z
mneo4 1l'etude de cette integrale, oi, en opposition avec la forme de l'integrale h des Nr. 59 et 60.
Finfini se trouve sous le signe Sin. au lieu d'aupres la limite de l'integration; et cette discussion
est d'assez haute importance et donne lieu a des consequences assez remarquables, pour que nous
en traitiols a dessein plus amplement.
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