Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 8. NO. 61, 62.

THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMIATIOR,

Or, comme ce resultat est tout-k-fait independant de b, faisons-le c, et nous aurons:
J'l = ody | f (f ) Cos y dy = /hf (0);...... (12
/0 O
dans cette formule soit f(x) =e-Px; done, conmme l'integrale indlfinie
fr.[1 Il-.ond ySin. y x - p Cos. y x
ff(x) Cos. xy dy == e-Px Cos. xy dy y= -Sin. y — p Cosy xe-p
y: +p2
1ous donline
f()Cos.xyd/= 2 [39],nous trouvonsl'1 —= f(0)-== fdy- 2 == d.Arctg.L=-= i -
J)u O
J:}~~ ~ ~~~~~~ ~~~0 0
c'est 'c-dire h = -, comme nous savons d'ailleurs (voyez la Troisieme Partie).
Par suite on peut rassembler les resultats des formules (121b) et (121d) dans l'equation:
r (b 00 [b. ^
j Cos py dy Jf ) os. py dx == Sin. pydy (x) Sin. xy dx =- 0, ou = (
ti a cf0 a. (122)
selon que p tombe entre les limites a et b on non;
Oil f (x) est continue entre les limites a et b de x I
Voila done le theoreme de F'OURIER, qui a eu une inflence si grande dans la theorie des in"
tegrales definies [40]; et a cause de son importance nous montrerons encore une tout autre voie,
pour y parvenir: une vole, qui, consideree en elle-meme, est d'interet pour notre theorie.
62. Supposant que f(x) reste continue entre les limites 0 et b de x, il nous est permit
d'invertir l'ordre des integrations dans les integrales doubles
rk rb rk rb
Cos. py dy f(x) Cos. xy dy et Sin. py dly f(x) Sin. my y;
0 8~ 0 0
elles deviennent des-lorso
r, rk [b rk
f () dxJ Cos.py. Cos. y dy = f(x) dx [Cos. {p - x) y} + Cos. {(p +x) y} ] dy
0 0 0 0
f (x) dx Sin.py. Sin.xydy= f (x) dx f [Co. {(p -.)y -Cos. {(p+ ) y] Idy,
o o 0 0
[39] Car pour la limite co de x, le premier facteur aux fonctions goniometriques devient indetermine,
mais cependant fini, et le second e-px s'annule: done, toute l'expression s'evanouit. Pour l'autre limite 0 de
0 — p 1
c, e —px devient l'unite, par suite la valeur de l'integrale definie devient:? (o )-:- (0) =- 0-
[40] SCHL6OmILCH, Journal von Crelle, Bd. 36, S. 268.
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