Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET iM'ETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIFNIES I. lADD.B.N~'.79,80.
) + d.f(a, a,a2,... b d.f (a,a, a )
(F,(xi)+F,(-xi)} = (a,, a,,.)+ Cos.r — 4 -t2 1 da I cda1
bh, d.f(a,a,,a2,...) ) d2.f(a,a,,a.,...) 2bb, d2.f(aGa,a,2,..)
+- -1JCos. r 2 ft —. da -+-a-a — Cos. rx - - -- Cos.[(r+-r,)x}- -+
1 da2 2 da2 1.2 da.da1
b d2.f(a,a,,a2,...) 2bb d..fa. +,).
4 — Cos.2r, X --- - Cos. ( r+ r.,)x
1.2 da 1.g2 L da.da )
cia 1.da2 d.2a da
- 6 d.f(aa, a2 s V(,,...) ^.. (ca,,a2,,.. f aa,...)
FdxciaF( I c)ia1'r, F- - Sin. i2- da
4 ---- -.-t-2)a-1- -— i — ~ -r~ —b. rx --- —-------— &n.{(r4-r.) + - +
1.2 d a,.2 1 d a da1
{b2 d d2 ff(a,a a a, n. )) bb, d 2. f(a,, a.,... ) b 2 '.(aca,a,.)
da --- Sin1x -. ' mSin. f(r " r l ) } ----i -- +d-a2S. 2r X
+.2& da1 '1.2 d. da (12 1 a
2bb2 d fl(a, ao,....) bib.. d -t b./c.a....).val(res dans e suite d'it -- os. qe ce ------------— tte ne
1.2 l /Ja, cra 1.2 &u lT,.ca,, l 1. 2 a.2 '
Lorsque maintenant nous imultiplions ces developpements par quelq1e fonction q (x) dx, pour integrer ensuite entre les limites ca et (, nous obtiendrons les integrales
evaluees dans une suite d'integrales definies. Or, pour que cette inethode mene it une evaluation proprement dite et legitime, il faut d'abord que les integrales definies Cos. s x. (,) do et
Sin. sx. (x)dx aient une valeur connue, et ensuite qu'alors les sdries deviennent de telle nature
a
qu'elles se soumettent legitimement a:2 une sornmation, qui en gelneral devra avoir lieuici suivant
le theoreme de TAYLOR.
80. Or, il n'est pas difficile de trouver plusieurs integrales definies, qui ont la oproiedte
voulue. On a par exemple (Meth. 5, N~. 6):
1 C 7 7r os. x 1r l+C2
------- Cos. nxdx --- - Cos. nxdx - c
1 —2cCos.x+cF 1 -ci. 1 —2cCos. x+c' 2c 1 -2
O f)
Sin.x Tr
1-2cCo. Sin.nxdcx --- c, (c<l), (T. 84, N. 3, 7, 5.).
1I~ —2eCos. x-C' 2X
1)8 -2}
Multiplions done la formule (A) r -- par a formule (B) par
1- 6 9cCos.x+c l —2 C os.+c2 l
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