Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES 1NTEGRALES DEFINIES. I. 8. N. 60, 61.
la derniere integration par l'integration partielle, ce qui donne:
6 (b )b b di.f
y/ f(x) Sin. xy dx = f() dx x(-Cos. xy) — f(x) Cos. y Cos. x y + l — dx =
a a a a
d.fJ'(x)
- f (b) Cos. by f (a) Cos. ay J+ jCos. 7xy
et 1'on trouve ainsi: a
K -- f(b) Cos.by. Si. y +f(a) Cos ay.&.y S in.pyd os. y.; (121c)
1J CIJ-dy &x y1
0 0 a 0
ou I'on a inverti 1gordre des integrations, cc qui est permis ici pour la meme raison qu'a le'gard de
la formule (121a). Or, comme on se trouve reduit ici egalement a l'inte'grale h du Nr. precedent,
il faut prendre ici les memes precautions pour rendre le coefficient t toujours positif, et l'on aura:
1. pour p > b > a: K = -f(b) X l +f(a) + X - ( {(a) - (b)} A+/h. (x)
a
= {(a) -f ())} + A {f(b) - (a)} -- 0.
07d fi) d dA)
2~. pour b>p>a: K===-/b)X0+/a)Xh+ > [ dx i Sin.py.Cos.xy + I dx Sin.py.Cos.xy ---dx y J dx y
a 0 P
- J (a)+ d XA+ bd.f() XO X = hf (a) +. f (x)} =lf (a) +A f(p)-/if(a)= Af(p).
dx j dx a
a p
6d.f(.v). pour b > a >: K -- (b) X 0 + (a) X 0 + ax X 0 -
~1
)onic encore:
K = Si. py dy J (x) Sin. xy dx, = lf(p), ou = 0,
o.......a( 2 1 (I).
selon que p tombe entre les limites a et b ou noi.
61. Mais dans les resultats (121b) et (121d), il faut encore substituer la valeur de A, que
nous deduirons ici de ces resultats eux-memes, comme nous l'avions annonce. A cet effet soit a
zero, p ro, o, doi Cos. py = 1, et lPon a suivant 'equation (121a):
fCI b (bS dy bd.f6x) f dy
- ~ ) 'osid-, d Je —dIn S (. y)in.xy
]1 - = dy / (~) Cos.,y d-f (b) 1 S'n.by -f(o) JSin.(O.y)Y- by dx,Sin.X.
y Jy dx I "
0 0 0 0 0 0
ou, comme la deuxieme integrale an second membre s'evanouit:
I1 - f (b) - f (x) = f (o)
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