Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. ADD.A.N.76, 77. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
et ainsi la relation entre une p(x) et une X(y) est plus clairement exprimee, lorsqu'on en viendra
aux applications [76].
77. Soit ( (x, (y) une fonction homogene de deux variables x et y, de degre n, alors il est:
dcp dT
x -- + y - l............ *. * * (/)
dx dy
Soit de plus f (qc) une fonction quelconque de la fonction (p, et multiplions l'equation (y) par
d(.f(a) d.f (c) dp d. f((p) dp d.f (p). nous aurons x -- - +- y n ---
d&p dcp dx dp dy dp
Mais en integrant par parties nous trouvons:
d.f (cP) dp d. xf() df(;) dcp d. yf(q ) df ( d) (q) (f.()
4v dx — ^ - — fW, - d — -4 - -- J(p), q --- J ----(cp)
dcp dx dx dp dy dy d(p dip
done par la substitution de ces resultats:
d. xf (Cq) d ) d. y f ((c) d.-f (....
+ n - - - (2)f? (,)) 2 f ((P) + f() *
dx d,4y d(p dp
d.f(cp)
=- (Pp d + 2f(1).
dcp
MLultiplions cette equation par et integrons entre les linites a et b de x, p et q de y,
nous aurons:
rq fb d. 3xf(0) _ + q f d f d. yf (() d. f
IJ d x) J dy f () d dddy- - + 2d( I
dx,(x) dy.() J J dp
p a p a p a
Dans la deuxieme et la premiere integrale double nous pouvons invertir l'ordre des integrations,
et puisqu'il est:
q bd.yf(p) dx b dx fd.yf(p) fb dy, b d -
d dyl d -yx X(x) dy )} = I () { )}-p
p a p a p a
nous trouvons d'abord:
fbd..xf(p) dx xb d.f q 1f.ft) + } dv(
ClJ + x+(,2 [ff lP (X'l)} 2P flc(Xi19) } J i~tW d +2f;- -;.(,92,)
p a a p a
ou ensuite en appliquant encore a la premiere integrale l'integration par parties:
[76] Voyez A. WINCKLER, Sitzungsber. Wien, B. 21, S. 390.
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