Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IEIIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I1. A~D.A. AN. 76.

AD DTION A.

I LA DEUXIEME PARTIE.

(Page 181).

76. Ajoutons encore quelques theoremes, dus a Mr. A. WINCILE1R, qui
admis ici, en ce qu'il reposent sur des artifices ingenieux.
On a identiquement:

neritent bien d'etre

Iq dy bd.f(,y) d
jd dy q (()
p a

f dz d f[q!d. f (xlq).7;i, f d,V
3 [d f —y cY - {f(xty)} p — f(,()- (x)}, (290)
C6 (x) j (p) C J C p
a p a (

pourvu que f(x,y) ne devienne pas infinie entre les limites p et q de y. Tichons maintenant
de simplifier lintegrale double, et supposons ' cet effet:
1 d.f (x,y) 1 cd.f( xy)
p(X) Cly (Y) dx
car alors cette integrale se reduit, tout comme l'autre, de la maniere suivante:

fq f~bWf (xy) dx f f fbdf( y) d,- f dy f d.,f(x,)
dy j- ~dy d
J j qdy (x)- J dx z (Y) ) dx,.
p a p a p a

q dy
z X-) {fi(by)-f(a,y)};
p

avec une condition, analogue a celle de plus haut, quant a la continuite de la fonction f(x,y)
entre les limites a et b de x; d'ol enfin:
x dy f(b )-/(a, )} = f(,q) -f(,,p)} **..** (29 )
p a
Lorsqu'une des integration s peLt s'effectuer, l'autre integrale defilie se trouve etre evaluee.
d.f (x,y) 1
Retournons maintenant a la condition (a), et rendons-la identique, en posant - =
dy x (Y)

d. f (,,y) 1
et --- ~ —; alors la fonction doit 'tre de la forme
cd, ccP ()dx
a l (' ) I )
J n.~~.~.., (~.~.( )
I87*

Page 689.,