Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET NIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I11. Md. 44, 45. N'. 7. i, 2.

f~Cos. qx dx 7,:
7. On trouve d'apres Meth. 9, N. 10: | Co q r-Sin. q. (T. 204, N. 21). Divi0
sons la distance des limites en deux parties de 0 a 1 et de 1 a rc, et substituons dans la, I..., I Cos. qx dx (Cos.qvdx ({ Cos.qxdx
dernlere integrale x=-, il vient: - Sin. q = -d - --- -
ly 21 - 1- V 1- 2
00 o 0
Cos. Cos. qx - Cos. L SL | 1 | — x
j I I-I + Si X
~I' 2 X —2 1 ) — 2 / L ----^
'~o?) ~0
(T. 192, N~. 11, 10). [436].
~ 4. M~STHODE 45. PAR DES CONSIDIRATIONS DE GIOMETRIE.
1. Comme les iutegrales definies peuvent etre considerees comme des quadratures, il s'ensuit
qu'inversement la quadrature d'une courbe donne lieu a une integrale definie, et en outre a sa
valeur lorsque de quelque maniere on connait la valeur de la superficie entre deux limites. Cette
methode appartient done entierement au domaiue de la Geome'trie, et nous en donnerons seulement
un exemple.
2. On sait que l'aire d'une Ellipse aux axes a et b (dont a soit le plus grand) est a 7r.
Pour des coordonnenes rectangulaires et l'origine prise a l'extremite du grand axe, son equation
est a2 y2 + 2 (a- ) = -a2b2; lorsqu'on introduit I'angle cp entre cet axe et le rayon vecteur,
2 b2 COS. 2 a2 b2 Cosin2 cp a4 b2 SiSn. cp dcp
on a (a - -.)2 Y 2, et y d 2= 2
a Sin. cp b2Cos.2 a2 Si. +b 2 os.2 ( j (a Sin.p+b Cos. 2 c)2
comme elenment de l'aire; par l'integration entre les limites 0 et -, ou entre 0 et 7r, pour acquerir
Je quadrant ou la derni-aire de l'ellipse, on trouve:
7r 7
fJ2 a4 b2 Sin.2cp dp 1 Sin. dq)
-S, W A: (_-Sin.2 (T- 67, NO. 8), F4371,
o (a0Sill.:,p+b2Cos. 2)2 4 ' I (a2Silz.2cp+b2Cos.2 CP)2 4a3 'b
[436] Voyez sur cette methode: CAJUCHY, Memoire sur l intales te es deifinies, prises entre des limites
imaginaires. Addition.
[437] Deja de'duite Meth. 32, Nu. 3.
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WaIS- EN NATUTJUaR. VEER. PEH DER KiONINKL. AKADTEMIFE DEEL. VIII