Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. Mde. 44. N~. 5, 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORIATION,

5. 'integrale IS= - e-px2 Sin. 2 qx dx donne:I =| e-p2x2 2x Cos. 2q x dx
0 0
Po o
Ell~nsuite de la meme2 j $n.e
o
2e-2 e p2x qSin. 2q -+p 2 xCos. 2q dx -2 (2110)
= p 2-,d'ou (p22_y2) I p4d I = 2 ou2
Ensuite de la m ]memanire d - e-d == in.q.d.e 2
0
0
ettert pa suit ne expression inie ou non, selo ue 'est le cas aupr de celleci
t — ( -d'oit)l (p —2-1- = q-l (1 + -2q, o (1
- ( P p 4' dq P
infini purvu qu'il soit e2 Sinq, car cet efft on pet;.'crie. o, (2i11)
^ 2 -— 2,..2J
et ainsi de suite [435].
Mais les integrates que 1'on acquiert de cette inanire depeiildent toutes de la primitive 1, et
admettert par suite. une expression finie ou non, selon quo c'est le cas aupres de celle-ci.
d
6 1. On a '. {xq (1 ~ x — P - x-l-p} = q x-1 (1 + -P -+ (1 -( p) x (1 + )-P -
-(q —p + 1) x'1-p = q. -(1 + )-IP + (q - p + 1) ( I1 + x)>P - x-P}. La fonction diffdrentiee s'annule pour x zero, pourvu que 'on ait q +4- 1 > p. Encore s'evanouit-elle pour x
infini, pourvu qu'il soit p > q, car a cet eflet on peut;ecrire sous la forme, indeterminee pour
cette valeur de x-, ~ -P — P:mais cette indetermination s'en va lorsqu'on fait &vanouir
le terme x1P- contre le dernier terme du binome' (1 + x)1-P; il reste alors v-P pour la plus
~q-p - +^ i] (4- - qr-p — q)^ 1,(T. 18, NO. 29), dapres M[th. 4, N. 6.
q-p4 Ce n et cs d+ C, 3 P,. (p)
[435] Cette reduction est de LEGEN(RE, Exercices de Caleul inte8ral, 3e Partie, N~. 49.
PIage 68 (;6.