Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 8. N. 59, 60. THEORIE, PROPRIETES, FOR1IULES DE TRANSFORMATION,
d z
Pour la trouver, mnettons-la sons la forme Sin. t et substituons-y tz v do td d v
0
tandis que les limites de v restent 0 et oc, pour un t positif: par suite - Sin.v-: et l'on
V
0
voit que la valeur de l'integrale primitive h est eutierement independante de la constante t: sa
valeur, qui est 2, pent se deduire de beaucoup de nanieres diffrentes, comme on verra dans la
Troisienle Partie, inais nous la deduirons encore tout de suite de cette meme discussion. II resulte
de-lS que:
00 dz 1 1 1 1,Sin. rz. Cos. s z -- =pour - -1 -- - = h0 pour (r > s, - = pour < s):
f ~z 2 '2 2 2
0
et par consequent, que dans la formule (12 a) il faut distinguer les cas ou p est plus grand ou
plus petit que a et b. Dans les deux premieres integrales au second membre cette recherche n'offre
aucune difficulte: mais dans la troisibme integrale double, dans le facteur Sin.xy, x peut avoir
toutes les valeurs entre a et b: done, lorsque p est situe entre les limites a et b, il faut diviser
l'integration par rapport a x entre les limites a et b dans deux parties, dont lune a pour limites
a et p, l'autre p et b. Or, de telle sorte p est toujours plus grand que x dans la premiere partie et
au contraire toujours plus petit que x dans la seconde. Eu 6gard a ces observations, nous trouvons:
b d f(dx 0.
~. pourp>b>a I=f(b) X Of(a)X O — -d-f X 0 = 0.
dx
a
fPdA ) f00 dy bdf) f00 dy
2. pour b>p>a: I-/(b)Xh-f(a)X O - d — fSin.y.Cos.y- - f-d in. Cos.py' oo dx p o
po X0 dx Sill. by. CO S.P'Y -(1 d in.x.Cos py
= f (b) -0- Jj dx >X - hfi(b) hx) d- X h -h /(b)- () } =(b)- (p)} = (p).
3~. pour b>a>p:I-=f(b)Xh-f(a)X/ -f dX = {(b) -f(a)} I-Atd)}
a
G-= {/(b)-f(a)} h-lh {f(b) -f (a)} = 0.
Done
^ r[b E
I - Cos.py dy f(x) Cos.xy d == hf(p),ou = 0,
-io Jan q. *... (121b).
ag
suivant que p est situe entre les limites a et b ou non.
60. De la meme maniere on peut transformer dans l'integrale double
K= jSin. py dy (x) Sin. xydy
ae0 a
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