Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 44. N~. 5, 4. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

(T. 212, N~. 6). [430]. La difference des deux integrales de chacun de ces deux systemes
founi' C -- - Ad00 (e-x Cos. x )0 dx
fournit:C-A= J { ---} d$x (e- - Cos. x)- 0 (T. 3 93, No. 11) (d'apres
x x x
0 0
o. o
Meth. 18, NO. 5), donc C = A. [431].
^c-b b 2b.a+c 3b a+c+b
4. On trouve Meth. 3, N'. 2: I | a-I (1 -x ) b dx -- -. 3b
ac a+b. c+b a+-2b.c+2b
o
Pour la differentier par rapport 'i a, prenons-en d'abord le logarithme, alors II= lb- -c+1 2b-l(c+b) +
+4 13b- I (c+ 2b) +...- la a+ 1(a + c)-l (a + b) +l 1 (+ c + b)- (a +2b) +..; maintenant
dI 1 1 1 1
la differentiation par rapport a a donnera Id = — + + — a b+ *
i rI da a -c a-b a — cnb a - -b
haut) faisons x = y 2 et nolis aurons: (e-x2 — 1 2 =.-...... (2095)
dx \
*. o
La difference entre celle-ci et notre integrale T. 133, N~. 5 donne: (e-x2 -e-x) -=-A,. (2096)
x 2
o
fx e 2x 1
Dans celle-ci faisons ==y2, nous aurons alors: (e-xi-_ 2)- = A,........ (2097);
o, * f00
et si nous prenons la somme de ces deux dernieres integrales: (e --- e-) - - 4 A.....(2098)
o
En continuant de la sorte nous aurons enfin: x(e-2 -e-x) - (1 A.... (2099)
o
[430] Sur une autre deduction voyez Meth. 43, N~. 7. On pent encore la determiner ainsi. D'apres
Meth. 12, N0. 3 on a: Z'(p)r(p) = J p- lx.e = -x dx= J P-1 e dx y dy
f* 7~ f AG0 0 0 0
dy dy
(suivanlt Meoth. 9, No. 22) Y {os.f P-I e-x dx _ JP-e-xCos.xyy y. r (p)0
Cos. (p Arctg. y)) f f Cos. (p Arctg.x) CLx
_r (P) (I + y2) donc: J C - (1C-2) -= z' *x * (2 1 00)
d'ou pour p l'unite de nouveau T. 212, N0. 6.
[431] Sur ce raisonnement voyez ARNDT, Grunert's Archiv, Bd. 10, S. 225.
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