Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Ms. 43. N~. 16, 17.

Dans ces integrales prenez x = -- y et r negatif, il vient:
1 —rCos. 2x qr 1 —' r rJ1-2rC5os.24+r 4, 4 4 4r
o
7r/ -- r), (r< ]),- -—, >
(2 r Sin. 2 ( \ __ r
1-2rCos.2x+r2 \ 2x- = 4) I%), 4 (r2 >);
et soustrayez ces integrales des correspondantes qui precedent, alors:
2 1-rCos.2x C I-r 1 r- -L
Ji 2r_.os_.2 + 1Tg. xdx = 11-, (r2<1), (T. 346, N'. 7), -1 1,(r2>1),.(2089)
1 -2r Cos. + 2 +' 4.+ ',, o
0
J 1-rCo.2 2 + ( < 1),. (2090), = -1 ' (r2 > 1). (2091)
17. Cas VII. Theoreme XLIX, L. Pour F () = (lquation () donne
/ (r + xi)C (s + xi)d
pour racines x = ri et x = si; mais comme elles sont toutes situees hors des limites de l'inte
gration - o et 0 de y, elles n'ont aucune influence, et L est zero; done:
f00 dx
J(r. + xi)c ( + xi)~d = 0. (T. 30, N0. 2).
J (r + xi), (s + xi)d
-0O
Comme {(r- i)-c - (r i)-c} {(s —zi)-d (s + xi)-d1 = {(r- xi)- (s-zi)-d+
+ (r + xi)-c (s + i)-d } ~ {(r - xi)-c (s + xi)-d + (r + xi)-c (s xiz)-d} et que les integrales
T. 30, N~. 1, 2, 3, trouvees respectivement ici aux N~. 9, 17, 10, sont symetriques par rapport a
r et s, on trouve l'integrale:
r( —xi)-c + (r+xi)-c} {(s —xi)-d =~(s+xi)-d dX = ~ + 4.. (o9d)
j\{r-x)-c~ (r+^ } {( ^)-(r+s,)c+d-I F (c) r (d) r ()(2092)
— 0'
Divisez-]a en deux parties entre les limites - oc h 0 et 0 a cc, et substituez dans la premiere =-y,
2w P(c+d-1)
il vient: {(r- xi})-c ~ (r+xi)-c} {(s —xi)-d ~ (s+ zxi)-d} d= ~ + ) (d)'
0
(T. 23, N~. 9, 10). Celles-ci deviennent pour d l'unite:
f( ri) -c +(+ri)-c n (r-i-c- (r+- i)-C z
s2 + d=, J ( s2 - 2 (r+s)c (
o o
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WIS- EN NATUUPIK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL YIII.