Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

ilJ. MIde 45. N~. 15l, 6.

il vient:

f(e2i) + (e-2zi)] [(T. z)+ (-Tg. )]dz -,...... (LXXI)
0
fi/f(e2zi)-f(ez1)] (Tg.z)- ( (.)T = L.. g... (LXXII)
()

Pour / () =-,. il est - f ( - )
I - rh' 2 1.~- xi

i-i\(1- l- r+(1 +r)V2' ]I-r -Cos.2 z
l + t^i (I ( ---r)I+(I _) 2. 2 -i2rCoM.2.z+r2'

1 1 /1 4- +xi / -1 --- xi\ 2r i i Sin.2z
i2 r ai \ 1 +y ^J (1-r) +(1 substitn+tio

de x -= Tang.z; done:

7T
I -2-2r Cos. 2z - '.
0

p
0
{-2

I

-/,.Q,.... O.

l, Cos 6 +- (21. )-. (- T.z)]y d = 4.... (L xxi -)
1 - 2r os. 2Zx r2i,

16. Maintenant soit D (x) = vP, alors l'equation (a) devient -- ) +
1 -r+(1I +2)*

1+x2
- -p = 0,
ITP

(1^?,)2+(12_ 1+,2 2 + X1
ou ( ---) — - - - = 0; done dans les deux cas les racines sont celles de le2r xi xP
quation 1 -+ x2 0, d'ou x = +i (puisque x -- i tombe hors des limites de y), et de plus
x i ou x i, selon que or est < 1, ou r>. Des-lors pour le premier cas du signe +, on a:
1 +r r I4

-24r I\ +2 X
^-^^T^x2-i )

-- -- i ' (- i)
4 1t +

\P].+/.:- ^ z =: - - '- -1
1.4-+ 4 r+l / r+i 4

ip_,1 ( -I- r /l-rP — 1
et pour le second cas tout de nme:?(i)=, cp -— j - -
4 + r j +r7 4
fr-_ ~..-l\P -1..
T+( - ( — — 1 ) - — 4 P-. LIorsqu'on substitue tout ceci et que l'on divise par 1 —( 1)P,
\r+l I r\r+ 1 4
iP 1.
ce qui donne - -- =, — o trouve:
1 + (-1)P i- i-P 2 Cos -p7r
7r
2 1-rCos.2x __ ( /1-r\ P) I r-i\P
------- Tg.Px i - - -l+ —I- i), + r.- - 1 >);
1-2 Cos. 2+r2 4 Cos. - pr \'+r 4COS.-P \7+
0 e
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