Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET aIETILODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M. 45. N%. 9- 11.

Pour une application de cette formule soit (x) - alors o pourra chercher la
(s - ) chercher a
somme A' +A' tout d'un coup. Pour cela remarquons que l'equation (v + xi)c (s - xi)d = 0 a
c racines egales a ri et d racines egales a - si: or, ces dernieres tombent hors des limites de l'integration et par suite elles n'ont aucune influence; mais les premnires donnent suivant les regles de Nr. 1:.~ - ).....i d l (-xi* — _ I_
(r + i ) () ^ D~. - - 'i" (S __ t ~ - dc-1, (r+ i)1-c = - -- de-1. (x-ri)1-c =
(r + xi)c (s -x i)d (_,i)d ~ ( - xi)d ij
(x - ri)2-2c
(= -i Tj i-c, qui s'annule pour la valeur ri de x, pourvu que c soit < 1. Comme d-s(s A *i)d
lors L s'annule de m6me, il vient: s 'i( = 2 Sin. c I -
(r + xi)C (s - i). X C (s+ + 4 z}V
0
2 Sinew.cn dy 2Sin r (1 -c)r (c+d —1) t,,.
(r + s)c — d -c d — -( + 8)'-L-d- i P(dapres Meth 4, N'. 6)
0
2w._ F(c+d —1)
=(r- +4-)c+d-1 (I (c) '(d) -, (T. 30, N3. 1), (d'apres Meth1 4, N~. 6, Note, form. B). Dans la
premiere- reduction on a employe la substitution x = (r + s)y.
10. Cas VI. Theoreme XLViI. La supposition de F (x) donne taut
(r- xi)c (s- xi)d
(= cO + yi) = 0 que F (x + -o i) =. L'dquation (a) devient (r - xi)c (s- ri)d 0 et a c
racines x - -ri et d racines x = -si: mais comme elles sont toutes situees hors des limites
et co de l'integration par rapport a y, il s'ensuit que A est zero. Par consequent:
dx __
(.__ i)L (. — i) — = 0. (T. 30, N~. 3).
J (7 - xC(S -z xi) l
0
11 Ce rnme theoreme peut encore nous fournir plusieurs autres theoremes genleraux. Car soit
f(x) une fonction qui ne peut devenir infinie.... (a), comme nous le supposerons plusieurs fois dans
f(x)
la suite. Alors prenons F (x) = --- -; l'equation (a), r - xi = 0, aura la seule racine x — ri,
situee hors des limites de l'integration suivant y, d'ohi il suit A 0, done: 0- (=.. (LVI)
1(f) c - ( oLVI)
et encore par le meme raisonnement pour F( () - ( --- i. (LVII)
— i)00
f(x)
Pour F (x) ) --- au contraire la racine de Iequation (a), r+-xi - 0, devient x = ri: d'oi
la correction A =,f(ri). 2ri f(ri), et par suite: f ' — f(di).. (LVIII)
-Ji^ ~ ri) -i) e ac+ xi

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