Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

I. 8. N~ 59.

8. TH]OREMTE DE FOURIER.
59. Une consequence non moins importante des resultats du ~ 6, le theornme de FoURIER,
s'en deduit de la maniere suivante.
Dans l'integrale double
I = Cos.pydy f(x) Cos. xy dx
o a
on a au moyen de l'integration par parties:
fb [b b
y f () Cos. xy dx f () dx. Sin. y =f (x) Sin. -y
aa a
d.f(x ) d.t(x)
- Sin, y df( =f (b) Sin. by - ( fa) Sin. ay s- dSix.,y dx;
a (
pourvu que la fonction f(x) reste continne entre les limites a et b de x. Ainsi l'integrale double
devient:
I /c(b5) Sin. by. Cos.py —f (a) Sin.ay. Cos.py y Cos.py- - Si'n xy dX C,
y JY y dx
R ais la foncion Cos. py. Sin. xy d.f(x)
Mais la fonction Gosp.y d x) reste continue entre les limites a et b de x; et ecrite sous la
d.f (x) Sin. xy
forme Cos. py d y- elle est encore continue pour les valeurs de y entre les limites 0
et c, puisque pour y = 0 on a Lim. i = x: par consequent, d'apres le Nr. 45, il est perY
mis d'invertir l'ordre des integrations dans la derniere integrale, et l'on obtient:
I = f (b) Sin. by. Cos. py- -f x) (Sin. ay. Cos. py -x f Sin. xy. Cos.py y. (121a)
j y y y J dx y
o ~ a 0
On est done conduit en derniere analyse a l'integrale definie:
fin.. Cos. dz 1 (ciSin. {(r + s)z} + Sin. {( -s)z}
f Sin.rzCos.s - - dz, (si r>s),
=1 l ------ --- dz, (si r<s).
Page o o
'2

Page 51.

7 *