Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Md. 45. N~. 5, 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

5. Cas 1I. Theoreme XLIII. Prenons F(x) =f(x)ecxi, done F(x+yi)-(f (x+yi)ecxi-c, desorte
qu'il est ici F (x + ao i) = 0, pourvu que f(x -+ o i) ne devienne pas co. L'dquation (a) donne
1- e-cxi = 0, d'oil, par la supposition quant a f(x), seulement e -cxi =- 0, dont la racine unique
fe)
= -- i ne tombe pas entre les limites 0 et co de y. Done, = 0 et: f()eCdxe =
o
= i ( (yi)e-c - f(b + y i) ebci-c} dy. Supposons que par le calcul des quantites imaginaires
0
on trouve pour la fonction t integrer au dernier membre e-cx {f (x) —if (x)}, l'on en tire:
b 0b
f( ) Cos. cx dx ] jf2 (x) -c- dx, (x) Sin. cxdx =d / (x) e-cx dx, equations, qui par le
0 0 0
dev.eloppement (si toutefois ce developpement est possible) de f, (x) et de f2 (x) en series ordonnees suivant les puissances de x, peuvent servir a exprimer les integrales des premiers membres
dans une serie de fonctions Gamma [415].
6. Cas III. Theoreme XLIV. Lorsqu'on suppose F (x) = (q —i)l'- e-C22, il vient F (x+yi)
= (q +- Y — i)r'-l e-c(x'-y2) e-2cxyi, qui devient zero pour x- =- o. Ensuite l'equation (a) est
1 1
ec x — -, dont les racines x = oc tombent toutes deux hors des limites
() (q-i-
0 et q de y; done L= 0, et par suite: (q-xi+q)r-~ e-c2(x+q)2dx (q-xi)-1 e-C2zdx. [416].
-0 -o00
Prenons r = 2, separons les parties reelles et les parties imaginaires, et nous aurons:
{2q Cos. (2c2 qx) - x Sin. (2c2 qx)} -e —c2(x-2) dx = q e-c dx = / (d'apres Meth. 6, N~. 8),
— 00 -.0
2 iSin.(2c2 qx) + xCos. (2c2 qx)} e- -q dx - e-Cx2 dx 0. [417].... (2077)
— 00 -00
Divisons dans la premiere la distance des limites en deux parties, de - c a '0 et de 0 Ba oo; et
posons dans la premiere partie x -- y, alors les deux integrales deviennent egales et l'on a[415] Voyez CAUCHY, Savants Etrangers de 1'Institut. T. 1. 1827. M16moire sur la propagation d(es
Ondes. Note 16, p. 18.4.
[416] ]2Euation enoncee dans le Bulletin de la Societe Philomathique de 1822.
[417] Gar pour, z=?2 l'integrale (73) donne: e-P r xdx ='0.......... (2078)
~Pague 6 ~70~. ~-00
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