Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET N~ETIIODES WEVALUATION DES INTEGRALES DEFINlES. Ill. Mfl. 415. N0.-a 5, 4.

par co qui vient d'e'tre opbserve' que les suppositions, qjui ont mene' CAUIJOY at ces dix cas, out le
caracte're curieux et 6rninemrrent utile, de nous laisser tre's-libres 'daiis le, choix de la fonction F,
et de simplifier ne'anmoins beaucoup la recherche des racimes de 1e'quationl (cc), tant qu'elles sont
Decessaires an calcul de la -correction L. Quant aux re'sultats, ii reste "a remarquer que les cas VI1 et
VII donuent lieu sonvent 'a une se'rie, tandis que le cas X ne fournit rien qn'nn re'sultat de cc genre.
Les cas 1 'a V et VII IX donnent des formules doubles, lorsque pour chaque application spe.
diale on s6pare les fonctions re'elles 'et les fonctions inmaginaires. Ces deux derniers- cas Viii- et IX
tronvent encore leur application dans l'inte'gration des 6quations diffe'rentielles line'aires; mais c'est
des formnles du Cas VI que CAUJCHY disait a\ bon droit, 'v qu'elles fourinissent les valeurs de pres'que
iiontes les into'grales d6finies connues et d'un- grand nombre. d'antres." [413].
4. Passons maintenant 'a l'application de ces divers the'ore~mes.
Cas I. The'ore'me XLII. Soit F(x) -= e-c'x' donc F(X+yi) -= e-Clx ec-2yi(Cos.,2c2 Xy _i Sin?. 2C~ 2 y)
est toujours 0 pour x =cc; l'6'qnation e= ' - 0 a pour racines x = 4 ~ c i, et toutes
deux tombent hors des limites 0 -et q de y, doncA= 0, et enfin:
Je-C2(+, 2dd x ecx -_i e-c2(yi.)2 dydoi a l'ade do Me'th. 4, N0.7
o 1) 1CO 02'26
Jecix~~os. (C2 qx) - iSin. (2 c dx) d= - r - 1o dx, et par la separation des parties
0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~0
reelles et des parties imaginaires:>c ciio.2jx) dx e- C 9~ 'T [41 4],jeC2X2 Sill.( 2C2 qX dX
ecq fe~ ~dx, relation, propre a l'approxiination d e P-wte)'grale a rme nibe ac
0
q'il existe des tables calcul'es de la derni Nre integrate.
[413] Sur cette me'thode do- CAUcHY ainsi que sur i'upplication dii calcul des re'sidus Onl penut cop,Sulter outre Notes noimbieases darts ses Exercices, suitout les me'moires suivants dui ninche autear:
Journal de l'Ecole Polytechnique, Cabi. 19, p. 510-'592, Mernoire stir 1'into'gration des 6~quations lin6.aires aux difi~renccs partielles et "a coefficients constants. - Minoire sur les integrales d6finies prises
entre des limaites inmaginaires. Pa-ris, de Bure. 1825. 69 pages 40' Me'moiro sur les inte'gral.es d6finies,
oii l'on donne iine fornmule ge'nerale, de laquolle so de'duisent les valeurs de la plupart des' inte'grales
de'finies de'ja connnes, et cellos d'un gfrand nombre d'autres, Annales de Mathe'matiques de Gergonne.
T. 1 6, p. 9 7-108.- Recherche d'une formale ge'nerale, qui fournit la valeur do la plapart des int6'grales de'finies connues et cello d'an g-rand nonibre d'autres. Annales de Mathe'natiques -de Gelrgonno,
T. 1 7, p.. 8 4-1 27. - Me'moires des Savants Etrangers de l'Institut de France, T. 2. 1827, p. 1. Mi&
moire sur la The'orie de lai p'ropagation des ondes, p. 124-312. Notes. -Ibid. p. 599. Me'moire stir les
integrales de~finies.
[414]Qui st li mine. quo T. 280, N'. 4. Vovkez d'aatres d'ductions de cette int'grale MUt. 23,
N0. 23, Me~th. 21, _N 0. 3,~ M Ath. 3 2, N',,.. S.
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