Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

tII. Mde. 43. N. 2, 5. THEORIE, PROPRIETES, FORIMULES DE TRANSFORMATION,
Sixieme Gas. Soit F (:f= oc + yi) = 0 pour chaquo y, et F (x + - i) 0 pour chaque x;
supposons a =- oo, b = o, p = oo, qp =o, il vient: [0 - F ()] dx =i [0- ] dy — A
-oo 0
/Q~ O
00 r0
d'oi: F()d = A,.. (XLVII), done aussi: ftF (.a) +F (- )} dx A. *. (XLVIII)
-00 0
Septieme Gas. Soit F(=: oo + yi)= 0 pour chaque y, et F (x-oc i) = 0 pour chaque x; prenons
a = -oo, b o=, p=, q 0, alors: [F )() 0] a = i [0-O] dy — A, d'omi:
--— 0) -00
00 P0
F (x) dx = - A,.... (XLIX), et encore: {F (x) + F (- x} dx --..... (L)
-00 0
Huitieme Cas. Soit F ( — + yi) O0 pour chaque y, et F (x:z o i) = 0 pour chaque x;
et encore a = - o, p = - o, q oc, il est:
a - ~ a, b — =- ~, p9 --- -- oc,,j q o, on trouve:
b^ f 00 f.0
[0- 0]d J [0 F(-+-y i)-]dy —, doll: J yF( +y i)dy =- Ai...... (LII)
— 00 -- 0
Neuviime Gas. Soit F (oc - 4 i) =O0 pour chaque y, et F (a o i) =0 pour chaque y; pour
pot-ns a - a, b== -- 9 - q =, on trouve:
o00 co co
[O[0 dx iF [0-0]y(-a+i)y, 'o: (- a +yi).dy i..... (LI)
3. Ces dix cas divers, qui rdsumrent les principales applications que CA-Ucfy a faites de sa
od, donnent lieu ququs observations ans les cas I VIes ites de y son 0 et, Dixime Gas. Soit (= yi) et = dnep pour chaqulles e y,quation (), la vale) pour cad e zro couppOSOnIS a =, b - Co,p - = O, q-= U noub aurons:
f [0 - 0]dx = i I 0-0O] dy -A, d'otI: A = 0.......... (A)
-_ 0 — 00
3. Ces dix cas divers, qui resumelnt les principales applications qne CAIJCHY a faites de sa
methode, donnent lieu a quelques observations. Dans les cas I a YI les limites de y sent O et
q, ou O et oC: donle pour toutes les racines reelles de I'equation (a), la valeur de y zero coilncidera avec p, de sorte que les corrections relatives L doivent toutes etre reduites a leur moitie:
de plus les racines, qui auraient un y negatif, tornbent hors des limites de l'intgration et par
consequent l'on ne 'doit pas en tenir compte dans le calcul de la correction. Pour le cas VII, ou
les limites de y sont — c et 0, la remarque que les racines reelles necessitent une correction de
moitie moindre reste de vigueur, mais ici au contraire ce sont les racines imaginaires a un y
positif, dont on ne doit pas tenir compte, comme etant exclues par les limites de l'integration. Enfin,
aupres des trois derniers cas, ce sont toutes les racines reeiles et les racines imaginaires de l'equation
(a) qui doivent servir au calcul de la correction A, et celle-ci reste toujours cornmme elle est. On voit
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