Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Md 45. N0. 1,.

II est F (x) — de sorte que x-xL — / i est un diviseur et x1 j-y i une
V *. __1 yl/
racine de l'equation 1( = 0................. (a)
F (^)
Quand cette equation a plusieurs racines inegales, reelles ou imaginaires, il faut prendre la
somme des diverses corrections L, correspondantes a chaque racine en particulier, du moins tant que
ces racines sont d'influence ici, c'est-a-dire tant que leurs parties reelles et leurs parties imaginaires
se trouvent etre entre les limites a et b, p et q respectivement. Quand encore m de ces racines
sont egales, ii faut changer dans les corrections precedentes 1expression i(x +- 1 i) dans l'autre
~({"-l) (x 1 — 1 / i)o
(Ml) -,o (rn - 1) 1) denote le produit. 2. 3.... (m-1)
Tout se fonde par consequent sur la resolution de le'quation (a), et c'est dans ce but que
CAUCIHY a donne' son calcul des residus. Soit qu'on en ait besoin, soit que les racines de l'equation
se presentent d'elles-memes, c'est toujours la resolution d'une equation qui est le caractere remarquable de cette methode, dont nous allons offrir maintenant quelques applications sur des integrales
generales.
2. Premier Cas. Soit F (o + yi) = 0 pour chaque y; prenons a = 0, b = o, p 0, il vient:
[F (x + qi) — F Ix)] d = i f[0- F (:yi) d — A, da'o: F (x + qi) dL =
= ( )d&x -i ( i i F dy-... (XLTI)
o o
0 0
Deuxieme Cas. Soit (x + r i) = 0 pour chaque x; pour a = 0, p - 0, q = -, il est:
J [O —F(x)]dx=ii [Fb+i) —Fi]dy —A,d'ot: (x) d i [F(yi) —F b+yi)]y —.. (XLITI)
o o o o0
Troisieme Cas. Soit F (i oo -yi) 0 pour chaque y; prenons a =- -, b = C, p = 0,
nous avoIs:
[F (x+ i)-F ] = 0-0], d +qi) F ()] i [ dy-, o: F ( dy = J (x) dx -.. (XLIV)
-oo 0 c -oo -oo
Quatrieme Cas. Soit (oo + yi)- 0 pour chaque y, et F (x + o i)= 0 pour chaque x;
soit en outre a = 0, b = oo p 0, q =, on trouve:
/-00 ( ) 00 - -.
J [0 'F(x))] = [Oi 0 -F (yi)]y- A, d'oi: | F(x)d = i F (yi) dy+. (XLV)
0 0 0
Cinquieme Cas. Soit F(- c +yi) = 0 pour chaque y, et F (x+ c i) = 0 pour chaque x;
pour a = -, 0oo, cp = 0, q = o, nous aurons:
f [0-F( )]d = i [F (yi)-0] dy-A, d'oh: F (F ) dx = — i F(yi) dy + A. (XLVI)
_~o o oo o
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