Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mde. 41. N0. 19.

|~~ oJ2rx^dx- 7 ( 2Te-2 mr-e-4smr__e —(2s+ l)2mr
Si&n. srx.Tg..rx i.(E + S.(-rm)- (m)} 2 (2o061).
0
Sin:' 2s rx ' rx Cx)- = - i. (-m) {-2 e4smr + e-45r+} 8r 2 (2062)
/ 2 +.~,~ $m 1 + e- e-'2'
o
/co edx
0
o
Sin.2 4s rx. Tg.rdx.Si.() ---- )= -- Si. (m).{l +Sin.4s Tmr r}. [408].... (2064)
1 - b^s e+~snr
Enfinl nous avons la fonction f8'(P), qui donne f(a) = 1, f (a - be~tl) = b --- —-r
1 -- bb e+mf 'r
1 b- s e+-s^ri
f'(a -+- be-~+1ri) _ b =
[1 - 6 Cos.2 nr-bsCGos. smr+S Cb 'os. {(s- l)mr}1- i+bSin.nmr-b Sin.snrbs+1 Si2.{(s-l rr6r)}
1 2b b esmn
[408] Les integrales (2053) a (28) (orsque nous y aurons remplacd s par 2s) et les autres (2059)
i (2064) peuvent etre combinees par voie d'addition, puisque Tg. rx + Cot. rx. 2 Cosec. 2 rx; puis prenons r au lieu de 2r, et nous aurons:

co xx T 1 d e —2s7ar
Sin. 2s rx. Cosec. rx. Si. (x) *d {- (- ) i. (m)} e1 e_
r00,~~~~d e2.mr - e-2star
/J m' r l2 + xZ 2mO e e —,emr
0
Sin.1 sTrx. Cosec.r~x. Si. (x) + 2 = - Ei(-Ei(
fO2 ~^ r - -{-x__,( 4m
0.. (-065)..(2066). (2067).. (2068).. (2069). (2070)

Sin.2 s rx. Cosec. rx. Ci. (Ix) Ei. (- m) - - - '..
2 f- X2 - em4 - -'r
0

~ '0

/00 -xdx
Sin. s rx. Cosec. rx. Si. (x) — 2 = z Si. (m). Sin.2 smr. Cosec. mr,
00 d
Sin. s rx. Cosec. rx. Si. ( -) - --- = — Si. (m). Sin 2sr. Cosec. mr........
in.0 ~ so2 X2 4m
o

La combinaison par voie de soustraction ne donne que les premieres integrales pour 2r au lieu de r,
puisque Cot. rx - Tg. rx =- 2 Cot. 2 rx.
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WIS- EN NATUTJRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.