Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. Mde. 41. N. 16, 17. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Pour f8 (P) == p, a = =b, (b2 <1):
1 - 1 fI -bsesrxi -- bse-srzT I -bCos.r —bsCos.sre+t-bsCo+lCos. f(s —1)r}
{ Fxi) + F(-,Ji - + r2)
2'- '2 1 —berxi 1 —be —rx 1-2b Cos.rx+b b2
1 { (x)b - - Sin. rx bs Sin. srA +- bs+1 Sin. {(s-1) r}
- {F (^') - r( ~.n)} == --- —------- - --- -- J- --- --;...... (aa)
2i t(2 1'(s). - 2b Cos.rx+b (a-
1.- Ps
d'ou pour /f (P) = — P a = 0, b= 1:
1 1 1 1 r Sin. srx 1
-{F ((xi)+ F (-xi)} = 11-Cos.sr-+Sin. srx. Cot.- 2X,. (ab),== -- Cos, (s-l) —,. (ab')
^ ^a- <v Ji 0^72 'Sin. x vx
1 11 i1 -I"I iSin.+. sr. 1
{r(i) —r( —i)} = -Sin.sr Cos..srx)Cot. rZ (ac), =in (s-1)-rx (ac')
2i ~ ( i. )rx 2r
1I] f Ii Cos. srx (-1)1
et pour f, o(P) ---— a = O., b = 1:
-{F(xi)-F(-xi)}= S I+Cos.2srx —SiJ.2srx. T. r|. (ad), =C -Coss. (2-)r (')
~,~(~~, Sin. srva ),
-2 {r(i)-F(-xi)} =- | Sin. 2sr-(1-Cos.2srx)Tg.-r,. (ae), = Cos. (2s )-r}. (ae')
D'autres combinaisons ne donneront pas des formes assez simples, pour nous etre ici d'assez grande
utilite.
17. Maintenant il ne nous manque pas de materiaux pour obtenir une grande quantite d'integrales
definies nouvelles [398]. Ici pourtant nous ne prendrons que quelques exemples, et nous choisirons d'abord
les theoremes (306) a (309), (312), (313); les resultats contenant un facteur Si.(x) ou Ci.(x) seront bien
nouveaux et interessants de cette maniere. -Nous y rencontrons les fonctionlsf(a+be-mrn),f(a+benr),
f (a), f (a + bemi), f (a - be-mri), qui done doivent etre calculees pour chaque f (P) du N~. precedent.
Dans le cas def,('P) on a: f(a)==l,f(a+be:~"mr)= (l+e1-nr)s, f(a+be~-?lri)=(1 +enris?=
2S Cos.s 2m.r Cos.- stmr ~ i Sin, -smr; et pour un double r:
f cos.s r. Cos.srxSi.() + --- - -x- {Ei.(-m)-Ei.(m)} (1 + e-2-Mr),,.... (1912)
oS. CO +os.srx.$ Cs-i.(1x) - + m + -+2(1 + =
0
cos.s rx. Cos. srx. Ci. (x) D.-2mrSI
fj m'1~r2 + 2 2s+.2m)
o
- s BrEi. ( —mn). (es"' +e — s'r) (emr + e-r')s [399],...... (1913)
[398] C'est ce que j'ai fait dans un,,Memoire sur une menthode pour deduire quelques integrales
defifnies, en parties tres-generales, etc." inseree dans les Natuurk. Verhandel. van de Hollandsche Maatsch.
der Wetenschappen te Haarlem, 2 Veinrzam. Dl. XVII, encore en cours de publication.
[399] Quand on diffdrentie ces integrales par rapport a. s, et qu'on annule cet s apres (ce qui est
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