Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. 7. N. 57.

THEORIE, PROPRIETES, FOR MULES DE TRANSFORMATION,

57. Mais on peut considerer les integrales definies a limites imaginaires d'un tout autre
point de vue.
Car aupres d'une integrale j (.x)dx soit une des limites f+ gi: alors on pout la remplacer
par f+ gi = a (Cos. a + iSin. c), lorsqu'on prend a - + i f (f - + g2, o Arctg. f. Pans cette
expression le facteur Cos. a + i Sin. a tombe toujours entre - et + 1: done, lorsqu'il s'agit
de passer a la limite ~t c, j il n'y aura qu'a considerer le facteur a.
Supposons gllenralement == Q (Cos. cp + i Sin. cp), alors lintegrale mentionnee devient:
F (x) = f { (Cos. cp -+ i Sin. q)} d {e (Cos. p + isi~. (p},
ct de la meme maniere qu'auparavant il est evident, que si f { (Cos. p +i Sin. q)} reste finie et
continue pour toutes les valeurs de %, comprises entre deux valeurs qc, et cp, l'integrale ellememe sera finie entre ces nemes limites. Supposons p constant dans la formule precedente, alors
on a: d. {Q(Cos. cp + iSin. q)}.= (Cos. gF + iSin. c) d; et l'on obtient:
F (x) =- (Cos. cp + iSin. q) f f{ (Cos. cp + iSin. c)} d Q.
La derniere integrale etant reelle par rapport a C, peut etre traitee comme une integrale definie
ordinaire: integrons-la entre les limites o == aet = b; alors les limites correspondantes de o
seront x == a (Cos, G - iSin. i t), == b (Cos. (p + i Sin. q ): done en changeant (p en a, parce qu'il
est constant, on trouve:
/b((Cos.d =iSin.a) rb
Jf (x)d= (Cos. c + iSin. c) f {(Cos. a + iSin. ca)} d. (115)
a(Cos.c+-iSin.a) a
Mais au contraire on pourrait tout aussi bien supposer Q constant dans la formule primitive, et lon
aurait: d. ({ (Cos. c + iSin. q)} = o d q, (- Sin. c, + i Cos. (c) et par suite:
r(X) - e f {o (Cos. (p + i Sin.,)} (- Sin. cp + i Cos. cp) d,...... ( 1 6a)
Ici cependant on peut separer la derniere integrale, qui a la forme A + B i, en deux parties, ou les
fonctions A et B sont toutes deux reelles par rapport a p,: des-lors on peut traiter ces parties
comme des integrales d6finies ordinaires et leur donner les valeurs a et 3 de (p pour limites:
parce que les limites correspondantes de x deviennent x = Q(Cos.ca+iSin. x) et x == (Cos. +iSin. ()
et que, e etant suppose constant, on peut le remplacer par r, il vient:
rr(Oos.4+iSin.3) r(
f (x) dx-= J f {Q (Cos. + i Sin. cp)} (- Sin. cp + i Cos. qp) dcp...... (116)
r(Cos.-.+iSin.a) c
I1 nous reste le cas, ou ni Q ni cp ne sont constants; dans ce cas IF(x) depend de ces
quantites comme variables ind6pendantes, et il faut determiner d cd7 pour integrer ensuite une fois
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