Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. Ill. Made 41. N~. 13-16.

oit dans les reductions successives des Arctangentes, on a suppose qu'ils devaient rester positifs.
Or, entre les limites 0 et oo de x, le premier change de signe aupres de x=q, et reste ne'gatif
q - x
au-dessous de cette valeur; rempla9ons-le done par Arctg. pour linte'gration entre 0 et q;
2br7
2br q dx 2br fq dX
il vient: 1(1 2p Cos.x +- P2) 2 2 = 2 Arctg. -.1(1-p) -- p -
J2 $+ 2 t -p
+ p -- Arctg. ( b )-A rctg. ( 1b ) *1 Maintenant passons a la limite oo de b, alors:
lt/j e2-p\ v \ Zbn ] v \ 2bn j)
2b=-.Arctg. — Arctg. oc==-, et Arctg. A( ---2- Arctg -,donc parl'integrale (82):
r00 qdx 1-pe-q
1 (l-2p Cos. x+p2) — '2+' l(l-p)+l — p =r 1 (l-pe-). (T. 416, N'. 7). [397].
14. Dans le theoreme 11, (254) prenons enfin x) = Cos., alors: (2) dy -Sin. px
0
qp(2a) (0)= 1, done:
dx ci p2n~+ 1
e-' Sin. 2pxz = -2 / z..(111)
— o
15. Passons maintenant aux theornmees (298) a (326) qui se trouvent dans L'addition B a la
fin de cet ouvrage. II s'agit de trouver de telles suppositions a l'6gard de F (I) =f(a - berz)
que les fonctions {F (xi) +F(-xi)) et { (xi)- (- i)} acquierent des formes utiles,
soumises a la restriction de ne pas etre incompatibles avec le developpement de TAYLOR; on verra
que les fonctions ne sont complexes qu'en apparence et que le facteur imaginaire s'elimine chaque
fois de la fonction par des transformations simples.
16. Commencons par chercher quelques formes pour - { F(i)+F (-i)} et -{F(xi)-F(-Zi)},
2 2i
et prenons a cet effet: f (P)= Ps, a= al =a2 ==...= 1, b = b =...= 1, alors:
1 ~ 1 21 2
- {F (xi) + F (- i)} = {(1 + e)S x+ (1 + e-ri)} = 2s Cos sr. Cos. srr,.... (a)
2 2 2
1 1 e1 1
- {F (xi) - F (- i)} = -{( S (1 ex + e-rx)s} = 2s Coss -r,. Sin. -- s r....... ()
2i 2i 2 2
[397] Autrement deluite Meth. 23, N. 11, Meth. 34, N~. 7.
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