Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Md. 41. N~. 12, 15. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Enfin soit f(x) = ex, d'ol' A?' =,,-, alors d'apres la Note du N~. 7:
go Sin. axdx ar a 1
ejeos. xCos.(p Sin. x) -i= 2......... (1907)
x 2 o0/P
dont la somme doline:
f00 -., Adx 7 Tr 1
o
eP COsx. Sin. ax + posn.} X' - el. I (1909)
2 a 0l2/1 2
0
Dans toutes les integrales qui ont leur origine de la formule II, (144) on peut prendre a zero, mais
il n'en est pas de merme dans celles qui dependent de l'equation II, (143). Or, on voit que dans celles-ci,
pour a zero, il faut leur Gter le terme - A0, c'est-a-dire, le terme qui correspond a n zero; de sorte que
dans nos integrales il faut soustraire 2, ce qui rend les integrales (1896), (1899),(1901), (1903),
(1905), (1907) identiquement nulles, tandis que les integrales (1898) et (1909) deviennent:
epos Cosi. ax dx.
J (1+2pos.. +p2)i n. S [rrecos.{(t2 C. {( +(1910)
fepCos.xin. (p Sin.) - (eP-1). (T. 392, N'. 14).
q2 + x2
o
13. La formule II, (155) dofnree lieu 7..application suivante. Soit f(x) = Arctg.-, done
teur. Le passage a k infini fera donc evanouir tous les termes qui dependent de k, puisqu'ils
ont le coefficient ' et que la fonction a integrer ne pourra devenir infinie avec k, mais devra
f2OT qdx 2 2bnr
rester finie. On a done: f -2pCos.+ P - Arctg.b- Arc.
J 00 dx f f2b7r+xi\ 12b.-xi\ / xi\ — ri\- 2bn
+p L ctg. +Arctg. -Arct Arctg. 2Arctg. 1(-p)+
o
+p - Arctg. ) +-.i + Arctg. -2 f — -- j = 2Arctg. -.(1 - p) +
J ex p _ \q-2 +2b i 2 - x - Q2br xi] q
0
f dx / 4bq__ \ g2b7T _A J-q\ fx+q\) Idx
Page 640.