Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Me. 41. N~. 7-9. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
7' epS&n.rx e-pShin.rx d C
Sin. x. Sin. (p Cos. rx) dx = ---(Cos.qr- 1);..... (1873)
fp2 _2pqCos. +q2 qO
o
T epSin.rx + e-pSi'.xr r
J-p2 - Sx-os (p. C(qCos. x)Sin.(p Cos. rx dx -Sin. r,...... (1874)
Jp2- 2pqCos. x.+q2
0
I-rep~Sin.rx Se-pSin.rx _ _
enfin pour f(x) = erx [392]:
I*5 p —q Cos.. X( yr
\ 2-EP2- - + —eePCos.'xCos.(pSin. rx) dx = — (eq + l),....... (1876)
P - 2 p q Cos. x - q2 2p
o]-.,Sin. x 7T
j -2-Sin. — q- ePCosrx Sin. (pSin. rx) dx = (eqr _1)....... (1877)
2 2p Cos. x +q2 2pq
o
0
8. Dans les theoremes II (129), (130) prenons f(x) = ex == p(x), d'ou A,, = B,
alors par le developpement des fonctions imaginaires (voyez N~. 7, Note):
f Pacs~ qqb' OS Xb w"CIO 1 1
ePaC~s*'ax+(p)bC'x Cos.(pa Sin. ax). Cos. Sin. b dx = + - b.n/l. (1878)
f CePacosaax+()bcs Sin.(pa Sin. a).Sin. p Sin. b dx -- -.1a. (1879)
1 1 all, 1bn/1
o
Dans le cas de qb = pa+b et pt =- r, on en tire:
1 I1 1
er(Cos.ax+Cos Cos. (rs)os. (rin. a).Cos. (r Sin. bx) dx -7r+ r(a+b)n, (T. 29, N0. 1),
o
2 an/i Iabn.1....
er(Cos.ax+os.bx) Sin. (r Sin.ax). Sin. (r Sin. bx)dx = - 2 1an/l 1n1 ra. (1880)
0
o
9. Pourf(x)=(l+x)s on a par les theoremes II (131), (132) (suivant les reductions du N~. 6):
s. r p +- q os.x 1 1p? Cos.rx
(p + 2pqCoS. x + q 2 ) s Arccos. / (p2 + 2+pq Cos. a + q 2) ' 12pr Cos. rx+p2r
)
7 rps++ p (:) qnr, (T. 372, N0. 9),
2 i \nr)
[391] Puisque: 2f(peXiri) = 2 Sin. (p Cos.rxzpiSin. rt) - (e0Sin x+Oe-PSin.x) Sin. (p Cos.rx) i=
~ (epSin.rx - e-pSn rx) Cos. (p Cos. rx.
[392] Parce que: f (p e~rx) = eP Cos.[r {Cos. (p Sin. rx) i Sin. (p Sin. rx)}.
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