Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET lETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 1II. M.d 41. N~. 6 7.

Sin.x (- )n (- 1)n (- )
Prenons encore f(c) == Cos. x, (j' (x) —, done A= -- == 1 B- = 12n
epSi.x t1 e-p+Si.e eSi?. x e —pSin.x x \
alors: f(p e~z-x) S= Cos. (p Cos. x) I = i -— Sin. (p Cos. x), cp -i
2 (2 e x
= e-xi Sin.* Cos. x ~1 Sin, = e p S e0(x osx)i -e- P (x Go s)i '
done: lep x Sin. (+ Cos. x -e Sin.x- Cos. ] (ePs: -.xe-PS.x) Cos. (p Cos.) d =
\ P (.0
4q7n 2 qr oo 1 q2n
4x 2qw- _ __i-_I (T. '96, N~. 15),
p p I (12n/l)2 2n+l
| ep Cos. x + q2 COS. ) e- p1 (Cos. ((ts — oS. 0 | I (ePSinx _ e-pSIn.x) Sin. (p Cos. x) dx
0
q1 Cos p P-eq Cos. qi- Sin..
P ~p 2~ Pp — 2pCos.: qi
7. Soit ensuite sp (i) a, d'oa Aux: 1, cp e~ p- alors
on - * \p '2 s- h p; aorS.e sp c Q
on a les the'ormes speciaux:

J (p ex;i) e p - q Cos. d q c
2 pZ 2pqCos. x+q2 q =
o
f(p eCX) -f(p e-Xi) Sain.x C c
[y i- --- --— 2- ---- - d = _B = - n -=
f 2i pz - 2p Cos. x+ q2 2pq 1 2pq
oi q2 >.
Pour f (x) = I on a d'apres l'expression des valeurs imaginaires:

7 ()+ )},. L).= - /(q) +7o )},. (XL)
2pp

f{(q)-f/(O)};.. (XTI)........... (1870)

I j

f7 p - q Cos.r ( q')
r P-q o Cos. x d- -- _
{ 2 - 2p q Cos. d x — U2 2,X,

0J L - -
o

M kL I

7(7 Sin.x. Sin.rx X17 /q7
J- C d- e 2 ) [390]....
jp2 -p2pqCos.xq2 + q 2pq [p
Pour f(x) = Cos. rx, il est (d'apres la reduction du N~. 6):
r ePSin.rx +. e-pSin.rx
S2 q Co -,P-p - Co. ) Cos (- C os. rx) dx - (Cos. qr + 1),
Co. p
0

(1871).. (1872)

[390] Pour q — 1 on trouve T. 84, N~. 5, dont on trouve une autre deduction Meth. 5, N'. 6.
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