Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MlETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

l. 7. Nl. 55o.50

1evaluation de diverses integrales d6finies, comme on verra dans la Troisieme Partie. A cet effet il a
employe son Calcul des Residus, qui repose sur le raisonnement suivant.
Soit une fonction cp (x), qui devient infinie par quelque facteur (.-a)nl; alors on1 peut ecrire:
F (x) -= -(-a); Mais on a d'apres le theoreme de TAYLOR:
q (x) - {a+q(-a)} =p (+- - cp(a) +.. + ( ) 1 (a) — -, (a
et done:
p (a) 1 c'(a) 1,- l(a) 1
( X- a)- 2 Ge-a) 17 (m —I)! + m ).
1 s1y
Or, le coefficient du terme, c'est-a-dire cp (a) ou- Y9-1 (a) [35], suivant qu'il y a
x-a (m —1)
une seule racine a ou m racines 6gales a, n'est autre chose que la fonction qui dans les nilmeros
precedents se presentait dans la determination de la correction A. CAUCHY le nomme: le residu
de la fonction F (x) par rapport c a. Lorsqu'il y a plusieurs de ces facteurs, la somme des
fonctions correspondantes cr, le residu intderal de CAUCHY, est represente selon lui par la notation
b,q b,q
~ F (x), ce qui nous donne =- ni - F (x)....... (113)
a,p a,p
La notation ajoutee b, q et a,p designe qu'il ne faut considerer que les racines x1 +y1 i, on
a<x <b, p <y <q [36].
56. Les formules precedentes permettent diverses suppositions speciales, et donnent lieu ainsi
unne methode devaluation, dont on traitera plus en detail dans la Troisieme Partie. Toutefois
pour en donner un seul exemple, qui trouvera son application dans la suite, faisons dans la formule (96) p =- oo, q - co, a 0O, b-== c; alors elle devient:
if y [F ( + yIi) - F (0 + yi)] [ dx [F (x + oi) - F (x -- oXi)] + L
~~-09 ~ ~ ~ ~ ~~ ~ 0
+IC.
t)if dy[F(c+ +yi) -i(c +2/yi).
Mais quand on sait, que pour chaque x positif on a: F(x -- oo i) = 0, F (- oo i)= 0; ec
en outre pour chaque y: F (oo - y i)== 0, il en resulte:
J F(i) dy A =, dy F (c+ +y i)-F (c — + i)],.. (1c 1
[35] Quelquefois l'expression equivalente: Lim. ( —a) F (x) offre plus de facilites dans le calcul.
[36] Yoyez des principes de ce calcul: CAUCI-IY, Exercices de o iMathrnmatique, 1826, p. 11, 44, 95,
133, 167, 20:', 25, 2l, 339, et 1827, p. 245, 277, 2.97, 315, 317, 4:1,
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