Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DIFINIES. II. M 40. N'. 4.

f dx f~ dx
coefficient, et il nous reste: C - - -(s + t- ]) p(1 + x)+t,2-P (1 +-Lx) 2-s0 0
r(l -p)r(p+ t — 1) r(p)r(2- p-s-t)
r ( 1 - s-)- (-st) (suivant Meth. 4, N'. 6)
r ( t) r (2 - s —t)

r(i-p)r).(p).r(p+ t-l) r(2-, -s-t)
( 1- s (-s-)( -)t)
' / r(s+t}. (1- -s-t)r(l —s-t)

r Cosec.P. r Cosec. {(2 + p - s-t) r}
rr Cosec. {(s+ t) a1}

-- _ Sin. { (s + t) 7r)
(d'apres Meth. 4, N'. 6, Note, form. B) =Sn.p m. -ls -+ + de sorte que C dans
lequation (b) est determine; mais cette equation n'exprime qu'une relation interessante entre ces
six integrales d6finies, sans qu'elle donne lieu a 1'6valuation de quelqu'une parmi elles.

Au contraire pour l'inte'grale K', on trouve:

-t
0

-

dx

X

xS (1 + V)P (X + q)2-p-s-t

x J ^(1 +x^)"(~x-x —~q/t )( xPS(1 -[ l+^^ -xPl(x-q+j)3 ---s-t
0 0 0
( 1ip-t +s+t-1l fix dX dx C
q 1P- X,~P (t +q ") (" + q x)~ s X (x + xq (" + q)2_ -, (1 - q)
Multiplions encore ici par q (1-q) et prenons ensuite q l'unite, alors les deux premiers
produits d'integrales definies s'evanouissent a cause du coefficient I -q, et 1'on trouve:
o 0
dt C dx dz d
r =(l)-s)P(i~+ t - -) IVP (Ir + )s+l ' (q +) (-sr -P (- -r ) (sP- + q)
0/
P Jaei-p rl-(1 62 7)P (. pa q)3(p- s-et + q 1 -Q ) u l P ( | S (2 + )
fd dvr (i —T) r (p1sJt-1,Vd r — P (I+ s t Xs- (t)2.r (1 —s+ t)
Xr(1 —) r (1 —)r( —)r('- t)('s)r(lh +s+te, f1)
TrCosec. {(s '+-t)7}
= -Sin. {~ + }) 7}.r (I - p) r (1 -s) r ( - t) r (p +. + t - 1) et par consequent.
7r
0G0 0
J.s (1 +,)P ( + q)j-p-s-t + + ( )
^J ^r^^^ ^=x (1 -p)r(l -I - ) r - I ( +-1),
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