Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. Ma. 40. N~. A. TIIEORIE, PROPRIETES, FORIMULES DE TRANSFORMATION,

p - t - pq - sq - 2tq dl
o = (1 —p — — t)i + ~t dq

+(t+ )( -q)qd2I ien dI
t (t + 1) dq~ ou blen dq<(<+!) ^9^9~dq

p+ t* - s +t\
q 1-+q

d[ 1 p —s —t t
+ - p -- - I == 0 sera lIequation diff'erentielle en I, oui par consequent
dq 1 -q q

+ + t S t 1 —p —s —t t
lron a f(q) -= -+ - '-, F (9).= - Pour en deduire l'autre equation differentielle
q 1 -- 1 — q q
1-p —t s+t —1 d. ( (q) p+t-1 s+t —1
en K, prenons q( q) = - -, d'ou -d - alors il vient:
q 1 —q dq. q2 (1-._)a
2- -t s+t-2 d. (q) 2 —p-s- t t-l
f (q) +2q (q) + et (q)+,(q) [f(q)+c, ()]+ -
q 1-q dq l-q q
d2 dK 12- — t 2 -s-t' dK 2 - -- s - t t - 1
de sorte que l'on a: + - -- 1 - -- K = 0. Et
cb1dq^ \ q dq 1 - 7 q
celle-ci satisfait au but propose, car en effet elle pent se deduire. de le'quation diff'erentielle en I,
et cela bien de deux manieres diff6rentes; c'est-a-dire, on peut prendre au lieu de p, s, et t, premierement - p, - s, 1 — t, et ensuite s, p, - p - s-t; de ces deux manieres le'quation
en K se change dans celle en I. On connalt donc de celle-la deux integrales particulieres
rtO0 - 00 /

1 = -P (1 + x)l-s ( + q) -t
0

et K,' =|
O

I

(1.?. Maintenant pour
xs (1 + x)P (x + q)2 —s-t

obtenir l'e'quation (a), observons que f {(q) + (q)} dq -( - dq q + 1 (1 -
et par suite e-f[f(q)+(q)]dq = -- ); que l'on connalt deja -- et que l'on a encore
q (-q) dq
dK — (t dx d K' _ _ dx
dq Jo x -- (l +)l —s (1 +-q)2-t' dq O s ' J ( 1-2)p (V+q)3-p-st *
0 0
Done pour l'integrale K, on a:

f~~ ______ dx i
I i-P (1 + j)l-S ( + q)l,-.f" dx
x If0 - (t- 1)
0P (1 + x)s (x + q)tl

0I

700

dx

X

xP (1 +x)s (x+q)t

f dxZ ( 1 —p —t + t- 1 d
Jx P( + x 1 (x 2 - _- X
J a1-P (1 + zl-1-s; + q)2-t 1 — q - j xP (1 + x)s ( +- q)t
O — dx c
X Jx- p(L + x)-s(x +_ q)l-t = (1 ) + (b). Pour determiner C, multiplions par q(1-qI
0
et prenons ensuite q l'unite; alors les deux premiers produits d'integrales definies ont zero pour
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