Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II.I.. 59, 40. N'. 2. 1,2. TIIEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

relation cherchee. Pour en deduire une integrale d6finie, soit p - r + s = 0, ce qui fait evanouir
/! dx
le premier produit; 'elimination de p nous fournit des-lors: (r + s — 1) m (1 - X
0
j l ( ql) -sL_=-. - r(Cot.r7rrcot.s7) q-s (i+4) -~r. Or, de (a) on tire: r (Cot.rr+ Cos.srn)
x l-r 1-'x —s
0
c' x F(r) r (s) x,.( + q)-r-Sdx
C= (1 (lr-9-) 1 — dx -: -— (- ) done par la division membre a membre: [ ( 1 - ) — o
-S(_ l-, r (r+)' j (l --- -S
0 0
- dx r ()r r (s) 1
=- f(-q+1-X-.(-s)-,= q()-(-s)q, (T. 6, Nt. 5), d'ou encore pour
(x + q)r+s (I - )l- )1 - (r+s) q' (1 - q)'
o
dx r (,)r (1 —) rr
F-r + 8 1 fldx ----------- 1?== ~l ( —) --- (1 == ---— )- r (d'apres Mith. 4,
Ir J (' j 9) (1 3J),VI-r q\-r(I J+ Y(lr qI-r(j + q)rSin.r7 1
NT 6, Note, form. 13). (T. 6, N'. 4.
~ 14. METHIODE 40. COMBINAISON DES INTEGRALES D'UNE EQUATION
DIFFrRENTIELLE DE SECOND ORDRE.
1. Cette merthode est une extension, que SVANBERG 1387] a fait subir a la methode precedente,
et se fonde sur l'idee suivante. I1 se peut que deux equations diff6rentielles, dont on connait
pour chacune du moins une integrale particuliere sous la forme d'une integrale definie- puissent
se combiner de telle maniere que l'equation differentielle resultante soit integrable. Des-lors cette
integration donne evidemmert une relation entre les integrales definies mentionnees et leurs differentielles.
d21i dI d2K
2. Soient ainsi les deux equations diffhrentielles: -2 +f(q) ~ F (q) I 2= 0 +
dq1 dq ' dqa
+ {f +(q)^ + 2 (q)} d + F(q) +f(q) ' + d) W —} Kl 0. Par le'!liminlation de F(q) il vienlt:
- -+K(() ()42 )}Id ---- {( )/ ()+ t -)]+ -q - IK 0, ou puisque
d, I d dK\ d 21 ( 2 K d dI dK_ Ad dK,(K — ),I K. =I — I,K —, encore: 0 =- -- -— +{f(q)+-l(q)} -- -q q)I
dq dq dqf- dq2 dq2 d dq dqq q
I dl dK dslkq) d 1 dJ dKi J dl dK: (q) cK +l -iK- -- — l + tq) —+, q) K K —I]'- ~(q), aq t j+i- e -' f (.)
d (q dq d1q dq {dq dq dq dqd
[387] SVANBERGIC, Journal von Crelle, Bi. 18, S. 55.
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