Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

i. NT. 54, 55. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Ar> C (c+ri) 1 c cr d 1 P+ E 4(c+ ri)d-
= _ td(- + i)] 2 ( f + z i )2+-l " + (-n_.2).i (- _ + Ei)i.
_. (c+ i(C ) 1,'(c + ri) 1 (,qp- 2( + ri) ]
t(3 +4- ~ ) + 7 ( j + i)m,-1 ' + j (rm-2)! ( - + i)2 J
( 1 acp"-Vl(c+-]-ri) 1 I ( I l-al(c-f-+ri) 1 )
) ++ -m(,i... -- +- + - 7"+ (C+rz) +..
((m-1)! - 1 +z ml J ( (-1).! 1+zi +!
)Dans le dernier membre, que l'ol a divise en quatre termes, on a remplace Bz par sa valeur
prilnitive c dans les deux premiers termes, pour faire voir qu'il faut d'abord annuler t et ensuite E; inais par l'annulation de b ces deux series deviennent identiquement egales, terme a,ermle: done necessairement la difference en disparait, tandis que le facteur 6, ou zero, qui s'y trouve
ajoute, ne fait qu'affermir cette conclusion. Quant aux deux derniers termes de cette equation, on
a separe 8z dans ces deux facteurs, puisque ici le B disparait du denominateur et ne revient que
dans le inunmerateur: done de ces deux series chaque premier terme reste comme une valeur deterMlinee, et tous les termes suivants s'evanouissent a raison des facteurs b, 82 etc., dont ils sent
affecte's. On a done:
fo 1 cp-1 (c+ri) 1,I -l (c +ri)
-z, 1 J -1) -1-i (n-1)! 1' +zi
----
-= —~ (_. 5+ri) d ( - 1.........2s- ) _. -i)
(CT-1)/ -I +zi 1+X7 (+ -1)J 1. +z (vil 1)On voit done que pour Mn racis gles a, il faut remplacer (c+-ri) par - (
(In-1)!
dlans la formule (98): et que par suite dans ce meme cas il faut faire le merne changement dans
le theoreme -(109), suivant que c ou r coincident ou non avec une des limites a ou b, p ou q.
55. Au commencement de ce ~ oil a montre comment la formule (97) ramee des inte'grales
defiiies a limites imaginaires a d'autres, oI les limites sont reelles: il resulte de la discussion
de cette formule, ou plutot de Plautre formule identique (96), ou les deux systemes de limites sent
tous deux des quantites reelles, que la correction L, qu'il faut y ajouter, ddpend d'une part
des diverses circonstances, quant a la discontinuite; mais que d'une autre part elle est lide a la resolution d'une equation dont les racines doivent servir a la determiner. C'est justement par cette
circonstance que CaucHY, a qui l'on doit toute cette recherche [34], l'a rendue si fertile pour
[34] Voyez les m6moires de CaucH: Bulletin de la Societe Philomathique, Nov. 1825. - Journal
de 1'Ecole Polytechnique, Cah. 19, p. 510. - Lecons sur le Calcul Infinitesimal, Paris 1823. - Savants
e1rangers de 1'Institut, T. I. 1827, p. 599, Partie II, p. 661, ~ III, IV. - AMdmoire sur les integrales
d6finies prises entre des limites imaginaires, Paris, Debure, 1825, 68 p. 4. - Exercices de Mathematiquea
1826, p. 85. - Exercices d'Analyse, 1841, p. 358.
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