Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Ill. /O[d.e 59. No., 2. THEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMAlTION,
~ 13. MI&THODE 39. COMBINAISON DE DEUX INTIGRALES PARTICULIERES D'UNE
EQUATION DIFFERENTIELLE DU SECOND ORDRE.
1. Lorsqu'on connait deux integrales particulieres L et K de l'equation differentielle du
d2 d d L dL
second ordre -- +f (q) - + F (q) I 0, il s'ensuit qu'on a: - +f(q)- + F (q) L
dq2 dq dq dq
dZK dK cd2L d K
=0, 2- +f(q).K + (q) KI 0, d'oui par ' elilinlation de (q): j -L d2 +
dq 2 dq dq2 dy dq
5 dL dK) d I dL dKl d L d2K
+ f(q]) tK —L- O=0. Maiscomme —. *K —L-t -K ---L 2, cette equation peut
dq dqI dq t dq dq j dq2 dq
I dq dq dL dKd dL dK
s'.ecrire:~ — - d.l (K —L - =-f(q)dq; Kdou par integration: l -— L dq =
es'dcrire:.L dK - dq dqJ -I
dK L d dK
dq dqi J
=-.- f()dq+C, et KI —L — L -C e —ff(q)dq. Mai ntena lorsque L et K sont des inteIdq dq
dL dK
grales definlies, - et - sont aussi des integrales definies, faciles a deduire; et 1'equation predq dq
cedente fournit une relation entre deux produits d'integrales de6inies, laquelle donnera quelquefois
1'evaluation d'une de ces fonctions. [386].
2. Soit K=. ) --- alors d (p+ 1) --- )- et
0 0.l (Xq)p-i + dx
p. (p +- 1) | ( —+- ) —. A present pour obtenir une relation entre ces trois integrales, on
d. {(+q )P) n-p-'() 1 — x~ v
trouve par la differentiation: -- _(+)-P) )' —=p( q) 1 —l(I-)s+ xr(z+')( )s
dx
- s (1 - &s-l (x + q)P Xr (-x ~+ q)-l Tr — (- 1 )S -1 - (p r + s) (x + q)2 +
+- (p + r -+ 2pq + qr + q8s) (x +- q) -- pq (1 + q) done par 'integration entre les limites 0 et 1,
qui fait evanonir le premier membre de cette equation, et par la substitution des valeurs de
[386] Cette methode est due 'a ABEL, qui en a traitC dans un Mc'Imoire dans le Journal von Crelle,
Bd. 2, S. 22 —0.
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